PARMENTIER . — QUADRATURE DES PARABOLES DU 3" DEGRÉ 



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S - A' = ^ h' f" (Xo) +4 ^* r K) + ^ h^ P' (^o) + etc. 



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S — A 

 L'examen de ces valeurs tait voir que, pour que le rapport , 



soit constant, il faut et il suffit que les fonctions dérivées supérieures 

 à /■" (cco) disparaissent, c'est-à-dire que le degré de la parabole ne 

 dépasse pas le troisième. 



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 III. L'aire >-^ h {y^ -\- Ayi-\- y^) est l'élément qui sert à établir la 



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formule de quadrature de Th. Simpson. Ce qui précède montre qu'on 

 obtiendrait la même formule au moyen d'une série d'arcs paraboli- 

 ques du troisième degré. C'est sans doute là la cause de la grande 

 approximation que donne la méthode de Simpson. Par trois points 

 Mo, Ml, Ma d'une courbe A M» M^ M.2 M3 B, on peut faire passer une 

 infinité de courbes différentes, 

 par exemple C M» M^ M^ D. 

 N'est-il pas naturel de penser 

 que si l'une de ces courbes 

 était assujettie à passer par 

 un quatrième point M 3 de la 

 courbe, situé dans le voisinage 

 et au delà du troisième, cette 

 courbe E Mo M^ M^ M3 F se 

 rapprocherait davantage de la 

 courbe donnée que les autres lignes non assujetties à cette con- 

 dition ? Or, on peut précisément considérer la formule de Simpson 

 comme obtenue au moyen d'arcs paraboliques ayant toujours avec la 

 courbe donnée un quatrième point commun, situé au delà de la limite 

 des trapèzes consécutifs dont la somme forme l'aire déterminée par cette 

 formule. Rien n'empêche même de supposer le quatrième point M3 

 très près de Mj, et alors les tangentes en Mj aux deux courbes sont 

 nécessairement peu différentes. 



Fig. 9. 



NOTE. 



Exemple numérique d'arcs de paraboles du second et du troisième degré ayant 

 même aire. 

 Soient les trois points dont les coordonnées sont 



(cEo = 0, I/o = 1) , (oci = 1, 1/1 = 2), {x^ = 2, y.2 = 9). 



