p. -H. SCHOUTE. — DE ].A PROJECTION SUR UNE SURFACE loo 



M. le W P. H. SCÏÏOÏÏTE 



de la Haye. 



DE LA PROJECTION SUR UNE SURFACE 



— Séance du 30 août 1879, — 



La communication suivante est un aperçu d'une étude, qui vient de 

 paraître dans le Nieuw Archief voor Wiskunde, tome VI. J'ai ajouté la 

 démonstration aux théorèmes connus qui en forment la première partie, 

 parce que c'est là la démonstration qui intéresse. Pour ne pas abuser de 

 la bienveillance de la rédaction des Comptes-Rendus, j'ai omis la dé- 

 monstration des théorèmes nouveaux qui font la seconde partie de la 

 communication. / 



1. « Les normales à une surface Fn forment un système de droites 

 de la n^ — n'ème classe, c'est-à-dire chaque plan en contient n* — n. » 



Les n{n — 1) points de Fn , où les normales à Fn se trouvent dans un 

 plan donné V, constituent l'intersection totale de deux courbes planes 

 Gn etCn- i,dont la première est l'intersection de V avec Fn, la dernière 

 l'intersection de V avec la première surface polaire Yn~\ de Fn par rap- 

 port au point à l'infini commun à toutes les perpendiculaires à V. 



2, « La projection d'une droite l sur Fn , c'est-à-dire le lieu_ des 

 pieds des normales abaissées des points de l sur Fn , est une courbe 

 gauche Rn'', la base d'un faisceau de surfaces du ^lième ordre ; elle a donc 

 in^ (n — 1)'' points doubles apparents. » 



La projection en question, c'est le lieu des a {n — 1) pieds des normales 

 situés sur les courbes Cn-i déjà mentionnées, qui se trouvent dans les 

 différents plans V passant par l. Ces plans V correspondent projective- 

 ment aux pomts L de l'infini où concourent les perpendiculaires à ces plans 

 Et à leur tour ces points L situés sur la droite de l'infini, qui est com- 

 mune à tous les plans perpendiculaires à l, correspondent projectivement 

 aux surfaces Yn-\ du faisceau de leurs premières surfaces polaires par 

 rapport à Fn . D'où l'on déduit, que les plans V correspondent projecti- 

 vement aux surfaces de ce faisceau. Ainsi la surface, qui contient toutes 

 les courbes planes Cnn» est le lieu de la courbe d'intersection des surfaces 

 correspondantes de deux faisceaux projectifs, dont l'un est du premier 

 et l'autre du n — l'ème ordre. Cette surface, qui passe par / aussi bien 

 que par la courbe R(n v^ commune à toutes les Fn-<, est donc du 

 n'eme ordre ; je la désignerai par Gn . 



