156 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



Les points d'intersection de toutes les courbes d-i avec Fn appartien- 

 nent à la courbe en question, et réciproquement chaque point de la pro- 

 jection se trouve sur une des courbes Cn-i ; il s'ensuit que la projection 

 de l sur ¥n ne diffère guère de l'intersection de F^ avec Gn , etc. {*). 



3. « Les normales à une surface Fn forment un système de droites 

 du n'— n^-fn'ème ordre,c'est-à-dire que n^—n^-\-n de ces droites passent 

 par un point donné P. » 



Les projections Rn^ et R'«,2 de deux droites l et l' qui se coupent en 

 P ont n^ points communs; car elles sont les courbes d'intersection de 

 Fn avec les deux surfaces Gn et G'n qui correspondent à ^ et à T et les 

 trois surfaces Fn , Gn et G'n ont n' points communs. Des n' normales 

 à Fn , qui coupent l et l' k la fois, w'^ — n se trouvant dans le plan de 

 ces deux droites, les n^—n^-{-n autres passent par P, etc. 



4. « Les projections d'un point P sur F» , c'est-à-dire les pieds p des 

 normales à Fn , qui passent par P, forment les points d'intersection de 

 Fn avec une courbe gauche Rn2_n+i par Ps qui a i {n—iy (n^— 2w-]-2) 

 points doubles apparents; je l'appelle la courbe projetante de P". 

 Toutes les courbes projetantes des différents points P de l'espace passent 

 par les (n — 1)^ pôles du plan V^ (situé tout entier à l'infini) par rapport 

 à Fn et par n"^ — n-\-i autres points en V„ (de sorte que les asymptotes de 

 l'une de ces courbes sont parallèles à celles des autres). » 



Sur les surfaces Gn et G'n , appartenant à deux droites l et l' par P, se 

 trouve la courbe Cn-i située dans le plan des deux droites ; la courbe 

 d'intersection de ces deux surfaces est donc composée de deux parties, 

 la courbe Cnn mentionnée et une courbe gauche Rn2_n+i (**). La 

 dernière doit contenir les n'^ — n^-\-n pieds des normales abaissées de 

 P sur Fn , car ces points, situés hors de V,se trouvent sur les deux sur- 

 faces Gn et G'n sans appartenir à Cn-i. L'ensemble des projections de 

 P sur Fn est l'intersection totale de Kn-^—n+i avec Fn , car cette courbe 

 ne saurait avoir plus de points communs avec Fn sans qu'elle se trouvât 

 entièrement ou en partie sur Fn , ce qui est impossible. 



(*) Le théorème que je viens de démontrer a déjà été démontré en 1868 par M. August {Journal 

 de Crelle, tome LXVIIT, page 242) d'une manière qui n'est que rextension <à l'espace de celle que 

 M. Steiner avait publiée en igio (Crelle, tome XLIX, page 333) et qu'on peut nommer la manière 

 cinématique. Plus tard, M. Mannheim et M. Sturm s'en sont occupés avec succès. Dans une anno- 

 tation, au pied de page 343 du mémoire cité, M. Steiner a dit : le lieu du sommet d'un angle 

 droit, qui se meut dans son plan de manière que ses deux côtés restent tangents à une courbe 

 lixe de la classe K, est une courbe de l'ordre K-. La contradiction de ce théorème avec le théo- 

 rème connu des sections coniques n'est qu'apparente. 



Ici le grand Steiner est en erreur. Il n'a pas pensé que chaque droite qui passe par un des 

 deux points circulaires imaginaires à l'infini (les ombilics du plan) sont rectangulaires à elles- 

 mêmes. La courbe en question est toujours de l'ordre K--K. Ainsi il n'y a pas de contradiction 

 entre le cas général et celui de la conique (voir Nouvelles Annales, tome XVIII, page 314 et 

 tome XX, page 2GG). 



(**) La courbe R,j2_n-|-i a été déjà étudiée par Steiner et par August (/. c). Cependant ils l'ont 

 trouvée de toute autre manière et ils n'en ont pas fait usage en courbe projetante. 



