p. -H. SCHOUTE. — DE LA PROJECTION SUB UNE SURFACE 157 



De la définition môme de la courbe projetante il ne va pas encore 

 sans dire, qu'elle est la seule courbe de cette espèce qui lie P à ses pro- 

 jections. Plutôt on serait porté à croire qu'on trouverait une autre courbe 

 en remplaçant les droites / et l' par d'autres droites passant par P ; néanmoins 

 cela n'est pas le cas. Car une surface G'n qui appartient à une autre droite 

 /■' par P doit passer par la courbe [\n^-n+\ déjà trouvée, parce qu'elle 

 la coupe en n^—n^-\-n-]-i points (P et ses projections). Ainsi la courbe 

 déjà trouvée doit faire partie de l'intersection d'une paire quelconque de 

 surfaces Gn correspondantes à deux droites l par P et parce que cette 

 intersection est complétée d'une courbe Cn-i. elle ne saurait contenir 

 davantage. 



On parvient à la même conclusion en remarquant que toutes les 

 courbes Rn2-n+i, qu'on pourrait faire naître par le remplacement des 

 deux droites / passant par P, doivent coïncider avec le lieu des points, 

 dont le plan polaire par rapport à F,, est perpendiculaire à la droite 

 qui joint ce point au point iixe P. Car chaque point Q de la courbe 

 R„2_„-)_i étant situé sur les deux surfaces G» et G'» des droites / |et l' 

 par P, et non pas en V, le plan polaire de Q doit, eu égard à la géné- 

 ration des surfaces G„ et G'„, être perpendiculaire au plan passant par 

 Q et l, et au plan passant par Q et l', c'est-à-dire à l'intersection PQ de 

 ces deux plans. Le lieu du point Q, dont le plan polaire par rapport à 

 F„est perpendiculaire à PQ, contient donc la courbe R»2_,,-fH. Comm.- 

 on trouve, de bien d'autres manières, que ce lieu lui-même est de l'ordre 

 /,i2 _ n -j- i, il n'y a qu'une courbe projetante de P. 



Les surfaces G», qui appartiennent à toutes les droites l qui se trouvent 

 dans un plan V et passent par un de ses points P, forment un faisceau 

 de l'ordre n, dont la base est composée de la courbe projetante de P 

 et de la courbe Cn-i située en V. Chaque surface de ce faisceau coupe V 

 suivant la courbe Cn - i et la droite / à laquelle elle appartient; des 

 ^2 _ îi _|_ 1 points d'intersection de R,i:_„+i avec V, il n'y en a 

 qu'un, le point P, qui ne se trouve pas sur Cn - ^. Les deux parties de 

 la base ont donc n"^ — n points communs. Le nombre des points 



1 

 doubles apparents de la base simple s'élevant à •^ii'^{n — \)\ la courbe 



projetante en a 



^n' (n - i)- - j(/i - \) {n^ — n -f 1) - {n' — n)\ 



= Lin — \f (n^ — 2u -f 2). 

 Puisque toutes les surfaces G„ passent par les (/} — 1)^ pôles du plan 



