158 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



V^ par rapport à Fn et ces points ne se trouvent pas sur une courbe 

 Cn — 1 située dans un plan quelconque V par P, les courbes projetantes 

 des différents points P de l'espace doivent passer toutes par ces (n — 1)^ 

 pôles. De plus, ces courbes coupent le plan V^ aux mêmes points. 

 Car si Q„ situé en V^ est un point de la courbe projetante de P 

 et q^ l'intersection de V^ avec le plan polaire de Q„ par rapport à 

 Fn, la droite qui joint Q^ à un point quelconque P de l'espace sera aussi 

 perpendiculaire au plan polaire de Q^. En d'autres termes, Q^ et 

 q^ seront dans V^ pôle et polaire par rapport à l'intersection de 

 V^ avec ¥n aussi bien que par rapport au cercle imaginaire de ce 

 plan. Et, en vérité, ces pôles et polaires par rapport aux deux courbes 

 à la fois se présentent au nombre de n"^ — n -{- i (*). 



Par les deux courbes projetantes R et R' de deux points arbitraires P 

 et P' on peut toujours mener une surface de l'ordre n, la surface G» , 

 qui appartient à la droite l par les deux points P et P'. A l'exception 

 des {n — iy pôles du plan V^ et des n^ — n -{- i points du plan V^, 

 elles n'ont plus de points communs. Car, en général, il est impossible 

 de trouver sur la droite / par P et P' un point dont le plan polaire soit 

 perpendiculaire à L Et il n'y a pas un seul plan polaire, qui est perpen- 

 diculaire aux deux droites de direction différente, qui joignent P et P' au 

 pôle de ce plan, qui se trouve hors de L Ainsi, des courbes projetantes 

 de tous les points de l, qui se trouvent toutes sur la surface Gn de la 

 di'oite /, il n'en passe qu'une par un point Q arbitrairement choisi sur 

 Gn. Ce qui cependant n'exclut pas le cas, qu'il y passe encore une autre 

 courbe R„2_n-f i , qui ressemble en tout à la courbe projetante, excepté 

 qu'elle est courbe projetante d'un point quelconque de l'espace, un cas 

 qui ne tarde pas à se présenter aussitôt qu'on attribue à n la valeur 

 deux (**). 



Seulement, quand PP' est perpendiculaire au plan polaire d'un de 



(*) Le nombre des points d'un plan, dont les polaires par rapport à deux courbes C„ et C ,j 

 situées dans ce plan, coïncident, est, en général, (n + n' — 2p — {n — ^) {n — i). Car si l 

 est une droite du plan et Q un point sur l, les polaires des points d'intersection des premières 

 courbes polaires de Q par rapport à C,j et C^', se coupent en Q ; le lieu des points, dont les 

 polaires par rapport à c^ et C,^' se coupent sur /, est donc aussi le lieu des points d'intersection 

 des courbes correspondantes des deux faisceaux projectifs des premières courbes polaires des 

 points Q de l par rapport à C^j et C^j' Ce lieu est donc une courbe de l'ordre n + n' — 2. De 

 même les points, dont les polaires par rapport à Cn et C„- se coupent sur une autre droite l 

 du plan, engendrent une autre courbe de l'ordre n + n' — 2. Parmi les (» -\- n' — 2]- points 

 d'intersection de ces deux courbes les (n — i) [n' — ^] points d'intersection des premières 

 courbes polaires C„_^ et C„-_^ du point de concours de l et l' ne satisfont pas à la ques- 

 tion ; il en reste donc (n + 7i' — 2)= — (h — i) [71 — i), nombre qui, pour n'^ 2 se trans- 

 forme en n- — n -{- i. 



(**) Quand F^^ représente une surface du second ordre, toutes les surfaces G passent par lé 

 centre de P-, et par les trois points des axes de F2, qui se trouvent à l'infini. Par ces quatre 

 points de F^ et un point quelconque Q d'une surface G, on peut faire passer deux courbes R3, 

 dont l'une coupe deux fois les génératrices et une fois les directrices de G, tandis que l'autre, 

 au contraire, coupe une fois les génératrices et deux fois les directrices. 



