P.-H. SCHOUTE. — DE LA PROJECTION SUR UNE SURFACE 1S9 



ses points Q, une infinité de courbes projetantes passe par Q. Les points 

 P, auxquels ces courbes appartiennent, étant situés sur PP', les courbes 

 elles-mêmes se trouvent sur la surface Gn, qui correspond à cette droite. 

 La courbe projetante de P étant projetée de P' par un cône du n"^ — n»»"'^ 

 ordre, les droites PP'_, qui sont perpendiculaires au plan polaire d'un de 

 leurs points, engendrent un « complex de rayons, » dont l'ordre et 

 la classe sont représentés par n* — n (*). 



5. « La surface projetante d'une droite l sur ¥n , c'est-à-dire le lieu des 

 normales à F„, qui coupent l, est de l'ordre n^. La droite l en est 

 une droite n^ — n^ -\- n-i'^^ ; de plus cette surface a une courbe double 



de l'ordre— n (n — 1) (An -f 4) (n^ — n — 1), qui coupe la droite L 



Â 



2/i2 (n — 1) (n^ _ n — 1)- fois. 



Les projections ^n^ et \Kn^ de deux droites l et Z', qui ne se trou- 

 vent pas dans un même plan, ont ri* points communs ; il y a donc n^ 

 droites normales à Fn, qui coupent / et /' à la fois ; le lieu des nor- 

 males à F», qui coup«.*nt /, étant coupé par ï en n^ points, est une sur- 

 face Fn3. 



On trouve le même résultat de la manière suivante : L'intersection de 



la surface projetante avec un plan quelconque À par / se compose de 



la droite /, qui, sans être normale à Fn elle-même, participe /i' — 7i*-f-n 



lois à la formation de la surface, parce qu'autant de normales passent par 



un quelconque de ses points et des n^ — n normales à Fn. qui sont 



situées en X, etc. 



. , , ,• , (»'— h)(?i*— n— i) 

 La surface projetante a une courbe douole, le lieu des 



points d'intersection des n* — n normales en chaque plan X par /. 



Quand il arrive k fois que deux normales situées dans le même plan À 



, , (n*— n)(w^— n — 1) 

 se coupent sur Z,le degré de cette courbe est A: -| ^ ■• 



Et le nombre /t, qui est an* (n — 1) (n* — n — 1) s'obtient facilement, 



(*) Les bix normales à \'i^ qui passent par un point 1' de l'espace, se trouvent sur un 

 cône du second ordre, qui passe par le centre de F, et par les points oii les axes do cette sur- 

 face percent V«,. En général, les n (»»» — n -f 1) normales à F„^ qui passent par un point P 

 de Tespace, se trouvent sur un conc du n'— ?»-ième ordre, qui p.isse parles («-i)^ iiôles de Vœ 

 par rapport à F„ et par les u^ — h + 1 points de V«, communs à toutes les courbes projetantes. 

 Ce théorème général n'offre rien de particulier qu'autant que n est égal à deux. Car tandis 

 qu'en général dix droites passant par un point ne se tiouvent pas sur un cône du second ordre, 

 les n (n2 — n + 1) + (n — 1)3 + n^ — n -f 1 ou n^irO- — 3n + 3) droites correspondantes 

 du cas général se trouvent toujours sur un cône de l'ordre n^ — n. Simplement puisque (pourn^a) 



n(2n' — 3n + 3) est toujours moindre que , le nombre des arêtes 



qui déterminent ce cône. Car l'équation n^— 4/1^ -f- 7/i — 6 =0, qu'on obtient en égalisant la dif- 

 férence " ("■ ~ •" '"' — » + 3) __ ^12^2 _ jj^ -j- 3) à zéro, se transforme, quand on pose 



2 

 n = n, 4- 3 en »ii^ + sn,' + loni + ô = 0, et cette équation n'a plus de variation de signe. 



