ÉD. COLLIG.NON. — SL'U LE POLYGONE RÉGULIER DE DIX-SEPT COTÉS 163 



§ I 



Commençons par rappeler, d'après Legendre les équations du second 

 degré qu'il faut résoudre pour trouver l'apothème du polygone régulier 

 de 17 côtés. La solution qu'il indique se résume comme il suit : 



Soit Ci la dix-septième partie de la demi-circonférence. Posons 



cosSa» -\- coso9= s, 

 cosTcp -|- costi'i = t, 



COSO -j- COSlS'J. := U, 



cos9ç» -|- coslo'^ = z, 



s -\- t = X, 



n-\-z=ij. 



On trouvera ces six inconnues auxiliaires en résolvant les six équa- 

 tions suivantes, partagées en trois groupes, 



xy = —\ ; 



s -}- l =^ X, 

 1 



_ \ 



4 



chaque groupe fournit une é(juation du second degré. On a de plus 



COSi -)- COS13:j» = U 



et ' coscf- cosl3-^ = — — .V, 



c'est-à-dire une quatrième équation du second degré, qui fait connaître 

 à volonté cos'i ou cosl3cp. 



Avant tout il convient de préciser les signes des inconnues. 



Dans chaque groupe les auxiliaires s et t, u et z, x et ?/, ont des 

 signes contraires, puisque les produits .'?^ uz, xij, sont tous trois néga- 

 tifs. De même les inconnues définitives, cosï- et coslSa, sont de 



signes contraires, car 'f est compris entre o et ■^, et 13.p entre -^ et -. 



Donc 5 est positif et, par conséquent, t e.-t négatif. Ou voit aussi que u 



est positif. En ettét, cosl3ç. =: — cos4.f ; l'angle i^ étant < '-^^ 



coscp > cos4.f, et la différence coso — cos49, c'est-à-dire la quan- 

 tité w, est positive. Enfin x est positif et y négatif, car on a 



X =z cosSfù -\- cosS'f -\- cos7© -f- coslli 

 = cos3cp -\- cosScf- -\- cos7cp — cos6'f, 



somme nécessairement positive, puisque cos 60 est moindre que cos3cp, 

 et qu'on ajoute à leur différence des termes positifs, cosocp et cos7cp. 



