172 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



cients binomiaux (voir le tableau 1 en ayant égard aux petits chiffres). 



Maintenant prouvons que si une horizontale quelconque du triangle 

 dé Pascal jouit de cette propriété, l'horizontale suivante en jouira. 



Appelons G, M, D trois cases successives de la première ligne. 



Appelons g le rang de G à partir de la gauche (voir le tableau 2). 

 — d _ D — — droite — — 



g -\- l sera le rang à partir de la gauche de M dans la première ligne, 

 de G + M dans la seconde, d -\- l sera le rang à partir de la droite 

 de M dans la première ligne, de D + M dans la seconde. 

 Nous avons, par hypothèse 



D + M rf + 1 



Ce qu'il fallait démontrer. 



Corollaire. — Pour former la n"^ ligne de coefficients binomiaux on 

 pose d'abord la suite suivante de fractions : 



n 



n — 1 n —2 2 1 



1 2 3 ' n — 1 w 



Posons i, premier terme de la ligne de coefficients. Le produit de ce 

 premier terme par la première fraction donnera le second terme. Le pro- 

 duit du second terme par la seconde fraction donnera le troisième terme, 

 et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on revienne au résultat 1 . 



n n — 1 n — 2 n — 3 



T — 7^ — ; — ••• etc. 



12 3 4 



n n (n — 1) n:X:(n — 2) n:X:(n — 3) 



1 — — • ^^ ■ . , . etc. 



1! 2! 31 4! 



