CH. BERDELLÉ. — DES PUISSANCES DE O ET DE LEURS MULTIPLES 177 



gauche autant de zéros qu'il faut pour lui donner 71 chiffres). Ainsi les 

 terminaisons de 625 par^rapport à 5», 5% 5% 5* sont respectivement 5, 

 25, t)2D, 0625. 



Lemme /. — 52" ~ ^ = impair X 2" -f 4 . 

 En effet : 



52' r= 3 X 2'^ + 1. 



Et l'on sait par le calcul algébrique que (52'*)2 = 52" + i _|_ 1. 



et que (impair X 2" -f- 1)^ = impair X 2« + i -f 1. 



Lemme IL — 1° 5« + « et 5'^ + « (impair X 2" -|- 1) ont même ter- 

 minaison par rapport à 5", et 2'' quand a n'est pas nul les {a — 1)™" 

 chiffres ont pour différence 5. „ 



Démonstrations fondées l** sur ce que 5" X 2" = 100. .0 et 2° sur 



n 



ce que la (terminaison 5'* + i) de (^n + a >< 2») est 500. .0. 



11 — 2 



Corollaire. Donc 5'^ + « + 2 et 5'^ + " ont les n derniers chiffres 

 communs et, tant que a n'est pas nul, les (n -j- l )""='' chiffres ont pour 

 différence 5. 



Lemme [IL — Si deux nombres ont les terminaisons par rapport à 

 5" complémentaires l'un de l'autre, il faut et sutïit que l'un soit multiple 

 de 5" pour que l'autre le soit. „ 



Et cela par la raison que la somme des terminaisons est 100.. 

 = mult. 5" . 



Lemme IV. — Les multiples de 5'* ont et n'ont que 2" terminaisons 

 par rapport à 5" . 



En effet (termin. 5'^ ) de (mult. 2'^-f a) = (termin. 5« ) de a. 



Corollaire. 2'' - 1 de ces terminaisons sont impaires et terminées par 

 5 ; les 2'* - i autres sont paires et terminées par 0. 



THÉORÈME I 



En calculant la suite des puissances de 5 ou plutôt leurs terminaisons 

 par rapport à elles-mêmes au moyen de la division par 2 et en dispo- 

 sant le calcul comme ci-contre, dès que dans la ?i"'e colonne verticale on 

 a 2" - 3 chiffres (y compris les zéros), on n'a plus besoin de les calcu- 

 ler, parce que les 2» - 3 chiffres suivants de la colonne se déduisent res- 

 pectivement des premiers en y ajoutant ou en en retranchai) t 5. Après 

 cela les mêmes chiffres se reproduisent périodiquement. 



Ce théorème paraît évident si on se reporte au corollaire du lemme II. 



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