p. -H. SCHOUTE. — COURBES SUR UNE SURFACE DU SECOND ORDRE 181 



s'y prend de la manière suivante: Une surface ¥n étant déterminée par 



(n + 1) (n + 2) (n + 3) , n (n^ + 6n^+ll) 



^ — ±. — Ll ! — L-2 ! — .^ — 1 OU — ^^ -^ ■ points, aussi- 



6 6 ^ ' 



tôt qu'on a la relation 



n (w^ + 6n + 11) 



6 



> V 71 4- 1 . 1), 



on peut prendre parmi ces points v n + 1 points de R^ ; dans ce cas, la 

 surface déterminée Fn contiendra la courbe Rv tout entière si elle est 

 simple et en partie si elle est composée, puisque le nombre des points 

 d'intersection d'une surface Fn et une courbe Rv ne peut pas sur- 

 j)asser le produit v n de leurs ordres. La plus petite valeur de n, qui 

 satisfait à l'équation, fait donc connaître l'ordre cherché ; je la dési- 

 gnerai par n. 



Mais, en général, cela ne démontre pas que la courbe R^ se trouve 

 sur une surface simple F," Il passe par chaque courbe R^ une surface 

 F,, parce que le nombre 119 des points qui déterminent F^ surpasse 

 la valeur 113 de vn -f-l. Cependant la courbe R,fi, qui est l'intersection 

 complète d'une surface F.2 avec une surface Fg, n'est pas située sur une 

 surface simple F^ ; car l'ordre de la courbe qui se trouve à la fois 

 sur les deux surfaces F^ et F7 ne peut pas surpasser 14. 



On sait que le cas considéré, qui ne se présente qu'autant que R^ 

 soit tracée sur une surface dont l'ordre est moindre que n, ne fait pas 

 exception au résultat connu, que je viens de déduire. La combinaison de 

 la surface F^, qui contient la courbe R,6, à une surface F5 tout à fait 

 arbitraire constitue une surface composée F, passant par Rjg. Seulement 

 l'exemple nous fait voir, qu'en général il n'est pas possible de désigner 

 d'avance l'ordre de la surface simple en question, quand on ne connaît 

 que l'ordre v de la courbe considérée. 



2. L'impossibilité de déterminer l'ordre de la surface simple en ques- 

 tion, qui passe par une courbe Ry située sur une surface ¥n (n étant 

 plus petite que "n), disparaît quand w = 2. Avant de le démontrer, 

 j'aurai à rappeler quelques résultats intéressants, que M. Cayley et 

 M. Chasles nous ont fait connaître il y a plusieurs années. 



Quand les équations 



P = o, Q= 0, n = o, S — o 

 représentent quatre plans arbitraires, la surface 



P S— QR = o 

 est une surface réglée du second ordre (en général une hyperboloïde ù 



