182 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



une nappe), dont les génératrices des deux systèmes différents sont 

 données par les équations 



^ + %« = ''i...(I)e.P + ^^ = ''i. .,(..). 



K-|-œS=:o) Q -\- y S = 0) ^ ^ 



Pour raccourcir le langage, j'appellerai les droites du système (I) des 

 génératrices et celles du système (II) des directrices. Quand on établit 

 maintenant entre les variables ce et y la relation 



f (xi , yp) =0 2), 



où q désigne la plus grande puissance de a; et p celle d'y^ on fait naître 

 sur Fj une courbe gauche, qui est coupée p fois par chaque génératrice 

 et q fois par chaque directrice. Car à chaque système de valeurs de x 

 et y correspond un point bien déterminé de F2, le point d'intersection 

 de la génératrice x avec la directrice y, etc. L'ordre de cette courbe, 

 que 31. Chasles désigne par le symbole M{xp ifi ), est p -|- q. Car un 

 plan tangent quelconque de Fg contient une génératrice et une directrice 

 de cette surface et coupe donc la courbe exi p -\- q points. Elle cor- 

 respond point pour point à la courbe plane dont 2) est l'équation, 

 quand on suppose que x et y sont les coordonnées d'un point du plan ; 

 elle a donc le même genre que cette courbe plane, quoique son ordre 

 puisse surpasser celui de la courbe plane, etc. 



La courbe M{xp yi ) est déterminée par p q -\- p -\- q points arbi- 

 traires de Fj. On démontre cette vérité, que M. Chasles a déjà communi- 

 quée, en remarquant que le nombre des coefficients de l'équation (2) est 

 égal k [p -{- i) {q -{- i). Deux courbes M{xp yi ) doivent donc coïnci- 

 der, quand elles ont commun/) g + i^ + 9 points arbitrairement choisis 

 sur Fj et qu'elles ont pour génératrices les droites du même système, 

 restriction qui n'est pas nécessaire pour p = q. 



3. Supposons maintenant, qu'on détermine une courbe M(aîPî/P) 

 par p^ -|~ 2 p points pris au hasard sur la surface Fj, qui doit la con- 

 tenir, et que, pour p^q. un nombre p^ -{- p-\-qse trouve sur une autre 

 courbe M{xp yi ) sur F^. Dans ce cas, il est clair que ^{xPyP) 

 n'est autre chose que la combinaison de la courbe M( xp yn ) aux 

 p — q génératrices de Fg, qui passent par les p — q points restants de 

 M.{xP yP ) non situés sur W{xPyi). Car ces droites déterminent p-ç 

 points sur chaque directrice de F2 ; elles forment donc avec M( xv yi -> 

 une courbe M(xp yP ) passant par les p^ -[- 2/) points. Et parce qu'il ne 

 passe par ces points qu'une courbe de cette espèce, on a le théorème : 



« Quand p^ -\- p -\- q des p'^ -\- 'i p points qui déterminent sur F^ 

 une courbe M( xp yP ) se trouvent sur une courbe M( xp t/? ) de cette 



