P.-H. SCHOUTE. — COURBES SUR UNE SURFACE DU SECOND ORDRE 183 



surface, la courbe M{xPyP) est composée de M( xp ^9 ) eidep — q 

 génératrices de Fj. » 



4. A l'aide de l'énoncé précédent, on démontre sans peine que {p>^q) 

 cliaquc courbe M( xp y^ ) est située sur une surface Fp. Il va sans dire, 

 que l'intersection totale d'une surface Fp avec F^ est une courbe Mlœ? yv ). 

 Maintenant, si l'on fait passer une surface Fp par p^ + P + 9 points 

 pris au hasard sur M( xv yi ), cette surface doit contenir la courbe. Car 

 p2 _|_ p -^ 9 étant moindre que la différence des deux nombres 

 (p + i)(p + 2)(p+3) _ ^ ^^ (P-1)P(P + ^) _ 1^ qui déno- 



tent le nombre des points nécessaires à déterminer une surface F^ et 

 Fp_2, cette différence étant (p + i)\ on a l'équation 



(p + l)(p + 2)(/) + 3) ^^ p^JrP+q +^l^zRPS2±Jl-i. 

 6 " 



Et cette équation démontre, que par les p* + p + ? points pris au 



(p — 1) p (p + 1) , 

 hasard sur M ( xp yj ) et par plus de pomts que g • — ^ 



en dehors de F2, on peut faire passer une surface Fp , qui ne saurait 

 se décomposer en F2 et une surface Fp_2, tout simplement parce qu'il ne 

 passe pas de surface d'ordre p — 2 par plus de points arbitraires que 

 {p—i)p{p-^i) ^ 

 G 



De plus, la surface F^ , sur laquelle je viens de démontrer que la 

 courbe M( xP y? ) se trouve, est à l'exception de F^ la surface du plus 

 petit ordre passant par la courbe, car chaque surface d'ordre inférieur ne 

 saurait couper les génératrices de F2 en p points. On a donc encore : 



« Chaque courbe M( xp î/9 ) se trouve, quand p >: 9' ^"^ "°^ surface 

 simple Fp ; elle forme avec p—q génératrices de F^ l'intersection com- 

 plète des deux surfaces » (*). 



5. Le nombre h des points doubles apparents de la courbe M {xp t/-? ) 

 a été obtenu directement par M. Cayley en évaluant le nombre des 

 cordes, qui passent par un point quelconque P de F2 non situé sur la 

 courbe. Toute corde de la courbe qui passe par P est située tout entière 

 sur F5,, parce qu'elle a trois points communs avec cette surface. Les 

 deux droites de F2 qui passent par P forment donc le système des cor- 

 des de M{xP y'i ) passant par P. De ces deux, la génératrice qui coupe 



(•) Retiiurné en Hollande, j'ai aperçu que le thénrème n'est pas nouveau. Il a été démontré par 

 M. Halphen {Complex lenduii, tonne LXX, page 380), mais tout à fait d une autre manière. 



