P.-H. SCHOUTE. — COURBES SUR UNE SURFACE DU SECOND ORDRE 18o 



Ces limites se déduisent aussi de l'équation 



h — — ^ — ~ pg, 



en remarquant que h atteint son maximum quand p et ç différent au- 

 tant que possible et au contraire son minimum quand p et g diffèrent 

 aussi peu que possible. 



Cependant on ne doit pas croire que chaque valeur entière comprise 

 entre les limites indiquées par l'équation 5) peut représenter le nombre 

 des points doubles apparents d'une courbe M( xp y^ ), dont l'ordre v 

 est donné. A cette tin on doit choisir h de manière que l'expression 

 4 /i— v(v — 2), qui est égale à (p—qY, soit un nombre carré, qui soit pair 

 ou impair en même temps que v. 



7. La surface du second ordre, qui ligure dans le théorème de l'arti- 

 cle 4) a été supposée une surface réglée. Cependant il n'est pas difficile 

 d'amplifier ce théorème au cas d'une surface du second ordre sans 

 droites réelles. A cette fin, on n'a qu'à supposer que des plans 



P =z 0, Q = 0, l\ = 0, S = 0, 



dont je me suis servi, P et S ou bien Q et W forment une couple de 

 plans imaginaires conjugués ; dans ce cas le symbole i\I( xp yi ) con- 

 serve sa signification, quoique les droites des deux systèmes soient ima- 

 ginaires (*). 



De plus, je donne au théorème une forme, qui se rattache au sym- 

 bole M (v; h) — symbole qui se trouve dans les mémoires de M. Cayley 



zéro. Cela est d'accord, car elles correspondent point pour point à une génératrice quelconque de 

 Fj, puisque les directrices font naître sur M (crP yi ) et la génératrice des divisions hoinugra- 

 phiques. 



(*) Quand on remplace les équations des quatre plans par 



A 4- B y/—i :=: 0, G = 0, D = 0, A — B v'^ = o 

 les deux systèmes de droites deviennent 



A + B /^ + a; C = ( |,j ^^ A + B y/~ + y^ - o ) (j,j . 



D -1- a; (A - B v/^) = o\ C+y(A— B v/_i) = o) 



chaque droite du premier système a ainsi sa conjuguée dans le second système 1 1/ rr — j. Et 

 l'équation de la surface est A^ + B^ — CD = o. 



Quand la courbe m( a;P j/' ) tracée sur une surface F2 sans droites réelles contient de tout 

 point qui s'y trouve le point conjugué, il faut que p et 7 soient égaux. Et toute surface, qui 



passe par une courbe M(a;'^ 1/^ ), tracée sur une surface F2 sans droites réelles, passera en 



même temps par la courbe u{xP y'^ ) sur Fj, qui est le lieu des points conjugués de ceux de 



la courbe yi\xVy^), quand p et q sont différents. Ainsi qu'une telle courbe m( x^ 1/^ ) 



n'est que la moitié d'une courbe m(jj'^"'~^ 2/^ )» qu' est l'intersection totale de F2 avec une 

 surface réelle F , 



