186 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



et qui est tout à fait indépendant de la réalité des droites de la surface 

 quadrique — en l'exprimant de la manière suivante : 



« La courbe M (v, h) tracée sur F^ se trouve sur une surface simple, 

 dont l'ordre est la plus grande des deux racines de l'équation 



V (v — 1) 



8. Le théorème qui fait le sujet de ma communication est d'une 

 grande utilité dans la classification des courbes gauches de l'ordre quatre 

 et cinq. En surpassant cela, je terminerai par une remarque sur la 

 classification des courbes gauches du sixième ordre Rj, un sujet dont 

 M. Weyr s'est occupé déjà avec succès (*). 



Quant aux courbes Rg, qui se trouvent sur une surface F^, il y en a 

 trois espèces , les courbes M(x^ î/^), M(a?* if) et M{x' y^) ; la pre- 

 mière a six, la seconde sept, la troisième dix points doubles apparents ; 

 la première est déterminée par quinze points sur Fj, la seconde par 

 quatorze, la troisième par onze ; la première est la courbe d'intersection 

 complète de Fj avec une surface Fg, la seconde forme avec deux 

 génératrices de Fj l'intersection complète de Fj avec une surface Fj, 

 la troisième avec quatre génératrices de F^ l'intersection complète de F, 

 avec une surface Fj. 



Toutes les courbes gauches, qui ne se trouvent pas sur une surface F,, 

 sont situées sur une surface Fg-, car, une surface Fg étant déterminée 

 par dix-neuf points, on peut faire passer une Fg par autant de points 

 pris au hasard sur la courbe Rg et dans ce cas Fg doit contenir la courbe. 

 Cependant il est encore douteux, si les courbes Rg qui ne sont pas sur 

 une Fj se trouvent sur une Fg unique ou sur plusieurs de ces surfaces ; 

 puisque le nombre dix-neuf ne surpasse le produit des ordres v et n 

 ([ue d'une unité. Il faut donc séparer les deux cas et étudier d'abord 

 les courbes qui se trouvent sur deux F, et plus tard celles par lesquelles 

 ne passe qu'une Fg. 



L'intersection de deux surfaces Fg livre quatre courbes Rg, dont le 

 nombre h a les valeurs 6, 7, 8 et 9 ; la première de ces courbes n'est 

 autre chose que la courbe U{x^ y^), tandis que les autres ne se trou- 

 vent pas sur une Fj. 



Dans le cas où Rg ne se trouve que sur une surface Fg, elle fait 

 partie de l'intersection de cette surface avec une surface F^. Car, si l'on 

 fait passer une surface F^ par 25 points pris au hasard sur Rg et par 

 9 points non situés sur Rg, cette surface doit contenir Rg et elle doit 

 être simple, parce qu'elle ne peut pas être composée de deux surfaces Fg 



(*) Voir Comptes rendus, tomo LXXVI, pages 424, 47B et 535. 



