N. ALEXÉEFF. — INTÉGRATION DE l'équation : y" -\- Vy' -{- Qy = 191 



On voit que la première partie est la dérivée de B^ — 4AC, donc si 



2 

 l'on représente l'expression B^ — 4AC par a^, on a : 



A\ = A^ P ou P =il (3) 



A 



Cette dernière équation nous donne : 



'/ 



2 / Mx. 

 ^2 ^ ii2 _ 4AG = e* 



En général, c'est la seule intégrale qu'on peut obtenir pour les équa- 

 tions (2). Mais lorsqu'au lieu de deux fonctions P et Q, on admet pour 

 connues une de ces deux fonctions et une des fonctions A, B, C, on 

 obtient des équations de deuxième ordre qui ont la première intégrale 

 exprimée par l'équation (1). En ne m'arrètant pas à des cas particuliers, 

 je vais prouver que l'équation (Ij, dont les coefficients satisfont aux 

 équations de condition (2), est toujours intégrable, c'est-à-dire que dans 

 ce cas on peut trouver l'intégrale seconde de l'équation donnée. En 

 effet, pour intégrer l'équation (1) par le procédé indiqué par moi dans 

 la note présentée à l'Académie des sciences à Paris et imprimée aux 

 comptes rendus (novembre 1878), je pose: y := uv et je détermine la 

 fonction v en posant 



Av^ -f hvv' -f- Ci;2 = {) 

 Cette équation peut être mise sous cette forme 



(2Ay' -j- By)2 =: y^ ^2 Q^ :p^^s simplement 2Ay' -\- Bv = v^. 



(a-B)(/x 



/■ 



2A. 



En intégrant on a : u = e 



En même temps pour la détermination de la fonction u, l'équation (1 

 nous donne : 



U = ; (4) 



A v'^a A ^ 



En dilférentiant cette équation on a : 

 , , ^'dx 2?'V/d5 du M u' dx Xdu Asv'dx 



u iiX ""— ^ « — ^ » ^ .■— ■^^-^— ^— ^— ■ ^— 1 I — , 



A^y'^u' A V^ U àV^U ^ A A ' A* 



En 



v' A R 



remplaçant dans cette équation le rapport par l'expression—^ 



V 2A 



