194 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



M. le F P. ïï. SCHOÏÏTE 



de la Haye. 



SUR LA TRANSFORMATION CONJUGUÉE 



— Séance du •/'■'• xepteinbre 1879 . — 



1. — Les courbes planes C3, qui passent par huit points donnés, 

 ont encore un neuvième point commun, qui avec les huit points donnés 

 forme la base du faisceau des courbes C3. Quand on ne fixe que sept 

 points de cette base et que l'on fait mouvoir le huitième, le neuvième 

 se meut aussi. A une position quelconque du huitième point correspond 

 une position déterminée du neuvième. Ces deux points forment donc 

 dans le plan des courbes C3 une correspondance birationnelle en invo- 

 lution, les deux points se correspondant mutuellement, ainsi que les 

 deux plans superposés ont les mêmes points et courbes fondamentaux. 



2. — Je désigne les deux poir)ts mobiles de la base des courbes (^3 

 par ^ et p et je cherche le lieu des points p, qui correspondent au\ 

 points j) d'une droite quelconque. L'ordre de cette courbe <ï> étant repré- 

 senté par N, parmi les N^ points d'intersection de deux de ces courbes 

 il n'y en a qu'un qui varie avec les droites correspondantes, le point p qui 

 correspond au point d'intersection de ces droites. Les N'* — 4 autres 

 points d'intersection des deux courbes <î> sont donc communs à toutes 

 les <î>. Et parce que ces courbes ne sauraient passer toutes par un point 

 qui ne fait pas partie du groupe des sept points donnés (parce que 

 deux courbes C3, qui passent par huit points, ne sauraient plus se couper 

 en deux points) on a, quand les sept points donnés sont des points 

 fondamentaux 2-ples de la correspondance, la relati(m 



N^ — 1 = li'' 1. 



De plus, il est impossible qu'une courbe •!> quclcoiujuc ait un point 

 multiple en dehors des sept points fondamentaux. Car de deux suppo- 

 sitions, l'une : ou un tel point t: est commun à quelques-unes des 

 courbes $, ou il change de position d'une courbe $ à une autre. Et 

 tandis que la première doit être rejetée parce que deux courbes ^ n'ont 

 de commun qu'un point simple en dehors des points donnés, la seconde 

 ne peut pas être admise non plus, puisque les courbes *ï> forment un 

 réseau (car par deux points p^ et pjj on détermine une courbe <&, qui 

 correspond à la droite fiPi) et que la nature même d'un réseau s'y 



