198 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



6. — Dans ce qui suit, je me propose d'examiner s'il est possible de 

 déterminer l'ordre N de la transformation conjuguée sans se servir du 

 plan double. Quoique mes résultats soient bien inférieurs à ceux que 

 M. de Paolis a trouvés au moyen de ce plan, je les publie parce qu'ils 

 contiennent l'étude de quelques cas spéciaux et qu'ils offrent quelques 

 points de vue nouveaux. Ce qui se montrera surtout, quand je les mets 

 en rapport avec la tranformation double. 



En me bornant au cas p = 1, je continue les considérations de l'ar- 

 ticle 3). Des équations (1) et (2) on déduit sans peine 



3 N — 7z = 3, 



équation qui exprime que la courbe qui correspond à une quelconque 

 des courbes C^ du réseau, et qui selon les règles de la transformation 

 birationnelle doit être de l'ordre 3 N — li, est du troisième ordre ; 

 ce qui s'accorde, puisque cette courbe correspond à soi-même. Eh bien, 

 dans le cas d'une n quelconque, cette considération donnera une équation 

 indépendante des deux équations que l'on obtient par la généralisation 

 des équations (1) et (2). 



J'ai fait le choix entre les deux résultats obtenus dans l'article 2) au 

 moyen d'une des dégénérations de la courbe *ï> ; je vais indiquer à pré- 

 sent un autre chemin, qui mène au même but et qui a l'avantage 

 d'être capable de généralisation. Toutes les courbes Cg du réseau, qui 

 touchent en a^ une droite déterminée l, forment un faisceau dont le 

 huitième point p de la base est le point de l infiniment voisin de aj, 

 tandis que le neuvième point ç se trouve ailleurs. Quand la tangente l 

 tourne autour de a^, ce neuvième point p de la base parcourt la courbe 

 Cg du réseau, qui a un point double en a^. Car cette courbe appartient à 

 tous les faisceaux qu'on obtient en faisant varier la direction de la tan- 

 gente en aj. Ainsi l'on retrouve que la courbe fondamentale des sept 

 points a est la courbe Cg du réseau qui a un point double en ce point. 



Je termine l'étude du cas n = S, par la considération de quelques 

 particularités. Quand quatre des huit points, qui déterminent un fais- 

 ceau de courbes Cg, se trouvent sur une droite l, le neuvième point de 

 la base s'y trouve aussi ; car dans ce cas chaque courbe du faisceau 

 se compose de / et d'une conique, qui passe parles quatre points donnés 

 non situés sur l, et ces coniques n'ont commun que ces quatre points. 

 De plus, le neuvième point n'est pas déterminé sur /. A chaque 

 point p d'une droite / par trois des points a correspond donc la 

 droite l tout entière. Et de la même manière on trouve, qu'à chaque 

 point p d'une conique C^, qui passe par six des points a, correspond la 

 conique C^ tout entière. Ainsi quand il arrive k- fois que trois des 

 sept points a se trouvent en ligne droite (sans qu'en même temps six 



