204 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



N2 _ 1 = i\ _ , _|_ (n — 3) i\ + 6 «^ + « — 3 

 (N— 4) (N — 2)=i-H_2 (/„-o— l) + (n— 3)z, ('"2— 1) + 



6 '/i (m — 1) 

 N n = (71 — 2) /„ - 2 + 2 (n — 3) /.^ + Qn, 



trois équations à trois inconnues. 

 Ainsi que l'on trouve 



î\ = /?., 2; =r 2n — 1, /,! _ 2 = w^ — 3 n +3, 



N = ?i^ — îi + 2 (*). 



12. — Après avoir montré à quel titre on peut déterminer la quan- 

 tité N par la considération de la correspondance conjuguée, je vais 

 compléter macommunicatiun en recourant au plan double. A cette fin je 

 tais correspondre un réseau de droites situées dans un plan quelcon- 

 que au réseau des courbes G,, dans le plan donné, de manière qu'à 

 une courbe Ci quelconque correspond une droite déterminée et réci- 

 proquement. Il est évident que par cela la transformation double est 

 établie, car aux deux points d'intersection mobiles de deux courbes d 

 correspondra ainsi le point d'intersection des deux droites correspon- 

 dantes. Le plan des courbes Cji forme donc le plan simple, celui des 

 droites le plan double de la transformation. Pour distinguer les éléments 

 des deux plans j'accentuerai ceux du plan double. 



Une droite / du plan simple coupant la courbe G» qui correspond à 

 une droite /' du plan double en n points, il faut qu'à cette droite / 

 corresponde une courbe C'n dans le plan double. Et deux de ces cour- 



(*)Ce résultat s'accorde avec ceux que M. de Paolis a exposés d'une manière bien simple dans 

 son mémoire. Il a dressé (p. 539) un tableau qui contient tous les cas où n ne surpasse pas 

 dix. Il caractérise ces cas par un symbole, le cas n = 4 p. e. par le symbole 



les chilTres dans le dernier rectangle indiquant qu'il y a dans ce cas six points (les points a) 

 qui sont des points simples de la base du reseau des courbes C/i et des points fondamentaux 

 quadruples de la transformation, deux points (les points b) qui sont des points doubles de la 

 base et des points fondamentaux septuples de la transformation et un point (le point A) qui 

 n'appartenant pas à la base est point simple de la transformation. Eh bien, le cas général que 

 j'ai considéré l'orme toujours le dernier des différents cas qu'il obtient pour une n déterminée. 

 Ail. si l'on a pour n z= io '■ 



n = 10 



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Oi,lo '2M9 •8;73 'c 



