206 MATHÉMATIQUES, ASTUONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



M. LAISÂITT 



Député de la Loire-Inférieure, Docteur es sciences mathématique». 



SUR LA TRANSFORMATION EXPONENTIELLE. 



— Séance du / = ■• sep tembr e i 87 9 . — 



1. — Supposons qu'un point Z d'un plan, rapporté à des coordonnées 

 rectangulaires, ait pour abscisse x et pour ordonnée y, si bien que 

 OZ = z = X -\- yi. 



Si de ce point nous en déduisons un autre, Z', déterminé par la 

 relation OZ' = z = e^ , il en résultera une corrélation digne de remar- 

 que entre les propriétés des points Z et ceux de leurs transformés Z'. 



2. — Tout d'abord, si nous appelons r, 6, les coordonnées polaires 

 de Z rapporté à la même origine, en prenant l'axe des x pour axe 

 polaire ; puis x, y', r, 6', les coordonnées correspondantes de Z', nous 

 obtiendrons évidemment les relations ci-après : 



f)' 



z = X ^ yi ■=^ re , z z= x -\- yi = r s. , 



r' £® := e^ + y = e^ ev , r' = e^ , ^' ==■ y 



X = ]r', y = 6', 



r cos = 1/-', r sin 6 — - 0' 



r = (?' *^o^ •*, 0' = r sin 6, -/• = ^{\r'Y + 9'*, 6 = arc tg — ' 



y = arc tg -^ , x =. \ "Jx"" -)- y\ 



Ces diverses formules de transformation peuvent être utiles dans 

 certains cas. 



3 . — Nous appellerons transformation exponentielle la transformation 

 que nous venons d'indiquer, et qui est définie par la formule z := e^ . 

 Nous remarquerons qu'elle est uniforme; en effet, dans les formu- 

 les précédentes, nous avons posé 6' = î/ tandis qu'il semble qu'on 

 aurait dû écrire 6' = ?/ -|- 2 A; x; mais au point de vue géométrique, 

 cela fera toujours retomber sur le même point Z', quelle que soit la 

 valeur entière attribuée à k. 



4. — Établissons tout d'abord une propriété bien connue, beaucoup plus 

 générale que la transformation exponentielle, et s'appliquant à toutes les 

 transformations qui s'expriment par une fonction ayant une dérivée 

 bien déterminée . Nous voulons parler de la conservation des angles. Si 



