LAISANT. — SUR LA TRANSFORMATION EXPONENTIELLE iâOT 



z = f [z], et si nous venons à faire subir au point Z un déplacement 

 infiniment petit exprimé par dz^ nous aurons pour le déplacement cor- 

 respondant de Z', 



dz = f(z) dz. 



Si maintenant nous donnons à 2 un autre accroissement géométrique 

 8z, nous aurons 



Zz = f'{z) OZ. 



De là, par division, 



dz' dz 



oz' Zz 



Ce qui montre bien que l'angle des deux éléments dz' e-t os' sera le 

 même que celui de dz et de 8z. 



5. — Nous remarquerons maintenant une propriété qui résulte évidem- 

 ment du mode même de transformation %' = e", indépendamment de 

 toute autre formule. C'est que si une série de points Z forment une 

 progression par différence, leurs transformés Z' formeront une progres- 

 sion par quotient. 



Or on sait que des points formant une progression par différence sont 

 des points équidistants situés sur une ligne droite ; et des points for- 

 mant une progression par quotient sont situés sur une spirale logarith- 

 mique ayant pour pôle l'origine, aux extrémités de rayons vecteurs for- 

 mant des angles successifs égaux. 



Donc, toute ligne droite se transformera en une spirale logarithmique 

 ayant pour pôle l'origine. 



6. — Nous nous contenterons d'énoncer les remarques ci-après, qui 

 sont évidentes, dès qu'on examine les formules de transformations éta- 

 blies plus haut. 



L'origine se transforme en un point 0' situé sur l'axe des x, à une 

 distance égale à l'unité, dans le sens positif. 



A toute droite parallèle à l'axe des x, correspond comme transformée 

 une droite issue de l'origine. A l'axe des x correspond l'axe des x. 



A toute droite parallèle à l'axe des y, correspond une circonférence 

 ayant pour centre l'origine. 



Tous les points qui s'éloignent indéfiniment dans le sens des x né- 

 gatifs ont pour transformés des points qui tendent indéfiniment à se 

 rapprocher de l'origine. 



Une suite de droites parallèles entre elles se transforme en une suite 

 de spirales logarithmiques homothétiques par rapport au pôle. L'angle 

 sous lequel une spirale coupe ses rayons vecteurs et de même que l'angle 



