208 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



SOUS lequel la droite, dont cette spirale est la transformée, coupe l'axe 

 des X'. Ceci résulte directement de la propriété du n° 4. 



7. — Le rapport (/éométrtque de deux droites OB', OA' peut se 

 représenter par l'arc d(! spirale logarithmique A' B' (ayant le pôle pour 

 origine). A ce point de vue, nous devons considérer comme égaux 



géométriquement les arcs de spirales A' B', A'^ B'^, A\ B\, 



lorsque les triangles A' B', A\ B\, A', B',, seront 



directement semblables. 



B //-^ / Supposons que A, B, soient les 



^-^"^^ y^ \ )( points qui, transformés, deviendraient 



// /' •, A, B. Soient — — = m, et 



/^ /2^_^-V gr A 



^^ ^^^^^--'''T'"^ angle A' B'= a. 



^ Alors ^^ r= m s^ 



^''^- ^^- Puisque OB' = e<JB, OA' = gOA^ 



nous aurons w;'^ = e-^^, d'où AB := 1 m -f- V- '• 



gr AB = V (1 m) - A- \j. -, inc AB rr a = arc tgr^ 



Im 



Cette dernière valeur, à cause de la conservation des angles, est pré- 

 cisément l'angle d'inclinaison de l'arc de spirale A' B' sur ses rayons 

 vecteurs, ou plus simplement Vinclinaison de A' B'. 



Quant à gr AB, c'est ce que nous pourrons appeler la grandeur 



logarithmique de l'arc A' B', grandeur qui ne varie pas, si l'angle A'OB 



• • 1 iî'' OB' ^, , , , . 



reste constant, ainsi que le rapport - — —-7. Nous la désignerons par 



gr OA 



la notation grl A'B'. 



Le point A' restant lixe, si la grandeur logarithmique varie seule, 



l'inclinaison restant lixe, nous aurons -r— =■ const. et le point B' ne 



m 



pourra que se déplacer sur la même spirale. 



Si au contraire, l'inclinaison variant, la grandeur logarithmique reste 

 constante, il vient [j. ^-f- (Im)^ = const. et le point B' décrit une trajectoire 

 orthogonale de toutes les spirales (de pôle 0) issues du point A'. Cette 

 courbe, transformée exponentielle d'une circonférence de centre A, 

 pourrait s'appeler circonférence exponentielle, de même qu'une spirale 

 logarithmique de pôle pourrait être désignée droite exponentielle. 



Ces transformées de circonférences peuvent, suivant les cas, présenter 

 dans leur forme une complication plus ou moins grande. 



8. — Un arc A' B' de spirale étant donné, cherchons à exprimer qu'un 



