LAISANT. SUR LA TRANSFORMATION EXPONENTIELLE 209 



troisième point C est situé sur la même spirale. Si nous considérons les 

 points A, B, C, dont A', B', C sont les transformés, ces points A, B, G 

 devront être en ligne droite, c'esl-à-dire qu'on aura 



AG=wAB, ouOC = (l-M)OÂ-hMOB; 



Delà, en se rappelant que 0C' = e^c, OA'=c''»-S OB'=e'JB, 

 on obtient / 



OC' = OA' .OB', out^ — (-fi-^ 



OA \() A 



9. — Comme nous l'avons remarqué déjà, la transformation expo- 

 nentielle est uniforme ; c'est-à-dire qu'à un point Z correspond un point 

 Z' et un seul. Mais la transformation inverse, ou transformation loga- 

 rithmique, no l'est pas ; car un point Z' peut être le transformé d'une 

 infinité de points Z, ayant môme abscisse et dont les ordonnées différent 

 de multiples entiers de ^%. Si on suppose que le plan est partagé en 

 bandes par l'axe des x et des parallèles à cet axe, successivement 

 distantes de 2 t:, l'une quelconque de ces bandes se trouve représentée 

 par le plan tout entier, dans la transformation exponentielle. 



Si donc on veut, sans ambiguïté ni confusion, étudier la transfor- 

 mation d'une figure donnée, il faut la supposer ramenée à l'une de ces 

 bandes, la première par exemple. Gela est tout à fait simple s'il s'agit 

 d'une figure finie. Dans le cas contraire, il importera dans chaque cas 

 particulier, de bien examiner la correspondance entre les divers points 

 des deux figures, pour éviter toute erreur. 



10. — De ce qui précède, et sans qu'il soit nécessaire d'entrer dans 

 plus de détails, on conclut immédiatement qu'à toute propriété d'une 

 figure plane comprenant des points et des droites correspond une pro- 

 priété analogue de la figure transformée, qui comprendra des points et 

 des spirales logarithmiques ayant l'origine pour pôle. 



C'est évident pour les propriétés descriptives ; et quant aux propriétés 

 métriques, la notion de la grandeur logarithmique d'un arc de 

 spirale, que nous avons donnée plus haut, permettra de formuler les 

 théorèmes. 



Si, dans l'énoncé d'une propriété, il n'entre exclusivement que la 

 notion d'angle, nous obtiendrons, pour la propriété transformée, non 

 seulement une analogie, mais même une véritable identité de forme, 

 puisque les angles se conservent dans la transformation. 



A titre d'exemples, nous citerons un très petit nombre de propriétés, 

 parmi les plus simples. On pourrait faire la même opération sur toutes 

 celles qu'on rencontre en géométrie plane. 



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