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MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



4. — Les trois droites AAj, BBj, 

 CCi qui joignent les sommets d'un 

 triangle aux milieux des côtés op- 

 posés se rencontrent en un même point 

 G, qui divise au tiers chacune des 

 droites AA,, BB^, CC,. 



2. — Soit ABC un triangle rectangle 

 en A ; le carré de BG est égal à la 

 somme des carrés de AB et AC. 



3. — La somme des angles d'un 

 polygone convexe est égale à autant 

 de lois deux angles droits que ce po- 

 lygone a de côtés, moins deux. 



4. — Si par les deux extrémités 

 d'une droite AB, on mène des droites 

 telles que la somme des angles A, B, 

 soit constante, le lieu de leurs points 

 de rencontre sera la trajectoire ortho- 

 gonale d'un système de droites issues 

 d'un même point (circonférence). 



4, — Soit un triangle ABC tormé 

 par trois arcs de spirales logarith- 

 miques de même pôle 0. Soit OAi la 

 bi-sectrice de BOC, laquelle coupe l'arc 

 BG en Aj ; soient de même Bj, C^, 

 deux autres points analogues : 



Les trois arcs de spirales AAj, BB^, 

 CCj se rencontrent en un même point 

 G ; et OG divise au tiers chacun des 

 angles AïOA, B,OB, CiOC- 



2. — Soit ABC un triangle formé 

 par trois arcs de spirales (de même 

 pôle) et rectangle en A; le carré de 

 la grandeur logarithmique de BC est 

 égal à la somme des carrés des gran- 

 deurs logarithmiques de AB et AC. 



3. — La somme des angles d'un 

 polygone convexe formé par des arcs 

 de spirales (de même pôle) est égale 

 à autant de fois deux angles droits 

 que ce polygone a de côtés, moins 

 deux. 



A. — Si par les deux extrémités 

 d'un arc de spirale AB on mène des 

 spirales (de même pôle) telles que la 

 somme des angles A, B soit constante, 

 le lieu de leurs points de rencontre 

 sera la trajectoire orthogonale d'un 

 système de spirales issues d'un même 

 puint (circonférence exponentielle). 



11. — Il est clair, d'après ce qui précède, qu'on pourrait considérer, 

 non seulement des circonférences exponentielles, mais des coniques ex- 

 ponentielles, et en général des ligures exponentielles quelconques, qu'on 

 définirait exactement par des modes de génération analogues à ceux des 

 ligures ordinaires, et qui conduiraient à des propriétés correspondantes. 



12- — Si le point Z décrit une courbe et possède à un moment donné 

 la vitesse ZV, il est aisé d'obtenir la vitesse Z'V du point correspon- 

 dant Z. 



En effet, de z' = e= nous tirons dz' = z dz, 



dz Z'V , OZ' 



-fZ = Y\ = ^ = TTTTT» 0' étant le transformé de l'origme (00' = 1). 



De là une construction extrêmement simple pour obtenir Z'V, connais- 

 sant ZV. 



^3. — Soit (M) une courbe dont le rayon de courbure en M est 



