232 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



équation différentielle de la parabole : 

 de plus, en faisant y = o, on a : 



<^ = ^^. + -<-^).= t(^ + -'.) 



P 



ou à très peu près C = — , P comprenant môme, si l'on veut, outre 



le poids du sondeur, celui de la corde. 

 On a donc pour l'équation : 



(13) 



y' — 2 (y, + r,) y + — X = 



Parabole dont le sommet S a pour coordonnées : 



(14) 



k«6- 



^ys 



2 

 2/. + ^ 



tg «o 



En transportant les axes au sommet, l'é- 

 quation devient : 



(15) 



o , 2 p 



y H z — j^ = 



Fig. 25. 



Or, quand une parabole est donnée par 

 l'équation y'^ =: ^ m x, on a pour la lon- 



gueur des arcs comptés à partir du sommet, la relation 



(16) 



S=y 



2 m 



''^ 1 [ y -\~ ^ y^ H~ ^'^'^ 



2 V m 



les limites de y étant r, et j/i -{- vj. 



Cette formule peut aisément se prêter à la formation d'uns table à 

 double entrée dont les arguments seraient la longueur de l'arc et le rap- 



p 



port m = — , ou mieux, le poids du sondeur ; dans le cas ou m est 



très grand, on pourrait développer les deux termes de S, et l'on arrive- 

 rait à la formule : 



(11) 



2S = ,(l+-^-^,') 



encore en négligeant ^ ^^ pour de petits fonds, 



