234 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



OU (22) ce - C = -?^ + ^^ arc tg«, 



1 -|- U' q 



formule dans laquelle u = 



1-^ ^-M^-'- 



9 



1 



'+i\.('+^^' 



C'est la longueur d'arc de cette courbe qu'il est utile d'avoir ; repar- 

 tons de la formule (20) ; nous en déduirons : 



(C+ ^-i. >./.'- 



d'où ds = — 



/ nc+ 

 q 



Ces intégrales sont précisément celles que l'on a obtenues dans le 

 calcul de x ; et l'on trouvera finalement, en prenant dans un des termes 

 correctifs la tangente pour l'arc : 



formule dans laquelle G' sera déterminée en faisant *• = Si et y = y,, 



7^ P 



^_ ^1/^£1 



d'où C" 



</ 



(24) ou à très peu près C" = ( 1 H j • 



Cette formule pourrait aussi se traduire par une table, mais la pre- 

 mière approximation suffit amplement pour les besoins courants. 



Ces formules s'appliqueront encore dans le cas où, le bateau étant 

 mouillé, le ploml) descendra librement sous l'inlluence de son poids 

 et du courant; la position du plomb de sonde répondra au sommet de 

 la parabole; mais on peut, comme nous l'avons dit, sonder autrement, 

 et c'est môme le cas le plus fréquent; le timonier lance le plomb en 

 sens inverse du courant, et ce plomb tombe dans la verticale du point 

 de départ et le plus souvent au delà; le timonier raidit la ligne et 

 annonce la longueur filée^ quand le plomb cède à sa traction; mais 



