236 MATHÉMATIQUES, ASIUONOMIK, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



M. le F LELSÂÏÏLX 



Professeur à l.oiivaiii. 



SUR UNE PROPRIÉTÉ CARACTÉRISTIQUE DES SURFACES DU SECOND DEGRÉ 

 DANS LA THÉORIE DE L'ÉLECTRICITÉ STATIQUE. 



— Séance du 7"' septembre -1870. — 



Parmi toutes les surfaces convexes, les surfaces du second degré jouis- 

 sent seules de la propriété suivante : dans l'équilibre électrique, les 

 actions élémentaires sur un point intérieur se détruisent deux, à deux. 

 Pour le démontrer, considérons, à l'intérieur d'une surface S, un point 

 et une droite passant par ce point. Représentons les intersections de 

 cette droite avec la surface par les notations (X; y, z) et (;, r,, C) ; les 

 éléments de surface correspondant aux deux extrémités de la droite par 

 (Is et rfc ; les densités électriques des éléments par m et 'j.. 



Désignons, en outre, les dislances des extrémités de la droite au point 

 par r et p ; les angles que la même droite fait avec les parties inté- 

 rieures des normales à la surface en ds et de, par v et y. 



Enfin, regardons les éléments de surface, ds et rfc, comme les bases 

 obliques des deux nappes d'une petite surface conique, ayant son som- 

 met en ; et appelons f/w, la portion de surface que chacune de ces 

 nappes découpe dans la surface spliérique, dont le centre coïncide avec 

 le point et dont le rayon est égal à l'unité de longueur. 



d. — Conformément à ces notations, on a 



ds cosv == rhUo et dz co&j = ç-dw . . . . (i) 



Pour être égales, les actions opposées que les charges électriques mds 

 et u.dz exercent sur le point doivent satisfaire à la relation 



mds y.rfî 



et, par suite, à l'égalité 



"' '^- (2) 



COSf COS'J 



attendu les équations (1). 



L'équation de la surface S étant F (x, y, j^) = 0, si on adopte pour 

 les deux points {.v, y, z>), (l, -r), t)> les notations suivantes : 



