238 .MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



Gomme dans cette équations, £, Sll, 9b, n« dépendent que de (^,y;,C) 

 et L, M, N, G, de (x-, y, ;;), si l'on remplace ce dernier point par un 

 autre (x', y', z-'), on aura de même 



(l _ jc') £ + (r. - y) ^1]l. + (^ - ^-') % + iA + M-n + m = G'. 



En retranchant membre à membre ces deux dernières égalités, on 

 obtient 



(x — X-') £ + (y - y') ^U + [^ - -■'} % 



(L - L') l + (M — M') n + (N — N') C + G' - G ' 



Pour deux autres points (x", y", z"), (x", y\ z"), on aurait de même 

 les relations 



(X - X") £ + (y- V) ^l + {-^ - ^1 9b ^ 



^ (L _ L") ; -L (M — M") r, -f- (N - N") ^ + G" - G/ 



(x - X) £ + (y - f) TO + (^ - -^") db 

 = (L _ L") ; 4- (M — M'") Y. + (N - N'") C + G"' — GJ 



Or, la résolution du système des équations (6) et (7) conduit néces- 

 sairement, pour £, ^Z, %, à des valeurs du premier degré en ;, Yj, C, 

 de la forme 



£ = in'l -f- n'Yj ~U q'^ -^ s' \ 



SU = ml + ;i'y. + qX + -v" (8) 



C)^^;, = ,h1 + n"\ + fy"'i: + .S-" ) 



où les quantités m", m", m", /?', »", h", q, q", q", s' s", s"', sont des 

 constantes par rapport à c, '/;, C 



Si on substitue les valeurs (8) dans l'équation (o), celle-ci devient 



(■; — ./;} {ml + nr, J- qX + s') -]- (r, — y) (ni'l + n\ + g"!; + /) 

 + (Ç - ;.) (ml + n\ + ^'-Ç + ."■) + L? + M-/1 -f Nî: = G. 



Cette dernière équation est du second degré ; elle exprime une rela- 

 tion constante à laquelle les coordonnées variables ;, y,, l de la surface S 

 sont tenues de satisfaire. Il faut en conclure que l'équation F (;,*/;,(:) = 

 de cette surface est bien réellement, comme nous l'avions annoncé, une 

 équation algébrique du second degré. 



3. — La loi de variation de la densité électrique sur les surfaces du 

 second degré, ressort immédiatement des équations qui précèdent. 



En effet, F (;, r„ ^ étant une fonction du second degré, par rapport à 



ç, r,, C, les dérivées —, —, —, sont, par cela même, des fonctions alge- 

 briques du premier degré. 



