C.-L. LANDRÉ. SOLUTIONS DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 243 



ne suffit pas toujours pour trouver les solutions singulières disent que 

 l'enveloppe d'une courbe à paramètre variable F {x, y, c) = se 



trouve toujours en éliminant c entre F {x, y, c) = et — = 0. 



La démonstration part de la supposition implicite que la c variable qu'on 

 cherche ne rende pas F [x, y, c) infini ni discontinu. On est sur de 

 trouver toutes les enveloppes par 



dF_ dF_ 



de de 



-^ = ot pour ^ = 0, 



dy dx 



qui ne donnent pas toujours les mômes enveloppes. Celles qui font 



exception sont de la forme x = a ou y = b. 



Lorsque l'équation de la courbe variable est résolue par rapport à c, 



, . , (/F r/F . . 



il faut chercher les enveloppes par -r— t= co el par -— = x ; mais si 



dx dy 



dans ce cas le premier membre n'a qu'une valeur uni(jue pour un 



système quelconque de valeurs de x et y, la courbe n'a pas d'enveloppes; 



par exemple, lorsque ce premier membre est un polynôme algébrique. 



Quand cp et •]< désignent des polynômes algébri(jues , la courbe 



^ ' ' ^ r:rr C n'a pas d'euvcloppcs : mais toutes les courbes du système 



passent par les points d'intersection des courbes c? (j-, y) = et 

 ^{x,y)=0. 



Si o {x, y, p) est l'équation différentielle, où p = j-^, plusieurs auteurs 



enseignent que les solutions singulières se trouvent toutes en éliminant 



p entre cp {x, y, p) z= cl ~ = 0. Cela ne suffit pas toujours, il se 



do 

 peut qu'il en est encore d'autres, qui sont données par -p = oo , puis 



d'h 



d'autres encore données par — = oc , lorsqu'on écrit l'équation diffé- 



rentielle ■]/ ixy y, -y- j := 0. 



Le plus souvent, mais pas toujours, les solutions singulières données 



par j-^ = 00 sont les mêmes que celles données par -j- = oo et par 



d'j) 

 dx 



Dans son excellent livre intitulé A Traetise on differential équations. 



