244 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



BooLE distingue deux espèces de solutions singulières : 1" les ordi- 

 naires qui sont les équations des enveloppes de la courbe variable 

 représentée par l'intégrale générale, et qu'il nomme solutions singulières 

 de l'espèce des enveloppes (singular solutions of the envelop species); 

 2" des solutions, qu'il nomme singulières, parce qu'elles se distinguent 

 des autres intégrales particulières par une certaine singularité; par 

 exemple, qu'on peut tout aussi bien faire c = -}- oo ou c = — oo pour 

 les déduire de l'intégrale générale , ou qu'il faut prendre c ^ — ao 

 lorsque x est positive, et c = -f- oo lorsque x est négative. 



Sans aucun doute, ces singularités existent, les exemples de Boole le 

 montrent clairement ; mais aucun de ces exemples ne vient à l'appui 

 de la démonstration qu'il y aurait des solutions singulières, qui ne 

 seraient pas les enveloppes de l'intégrale générale. Il est facile de s'as- 

 surer que toutes ces solutions, citées par Boole comme si elles n'étaient 

 pas de l'espèce des enveloppes, sont au contraire les enveloppes des 

 intégrales particulières. 



Deux propriétés des solutions singulières n'ont pas la généralité, qu'on 

 leur donne dans les livres. Elles sont : 



I. Une équation différentielle M rfa? -)- N dij = 0, dont le premier 

 membre est une différentielle exacte, n'a pas de solution singulière. 



II. Lorsque v est le facteur intégrant de l'équation différentielle 

 M dx -|- N % = 0, on trouve toutes les solutions singulières en 

 posant V = ce . 



Ces deux propriétés dépendent directement l'une de l'autre; elles 

 sont en même temps vraies ou fausses. 

 Pour démontrer le premier théorème, on écrit l'équation différentielle : 



d (f(x, y) d '^{x, y) dy _ 



dx dy dx 



dont l'intégrale générale est c& {x, y) =. c. 



En supposant une solution singulière y = f (x), il faut qu'on sub- 

 stitue à c une fonction de x, de sorte que la solution singulière serait 

 (f (œ, y) = ¥ (x) 

 ce qui est impossible, car 



d cp(a3, y) d o(x, y) dy d F (x) 



dx dy dx dx 



ne s'accorde pas avec l'équation différentielle. 



Ici on a perdu de vue que la solution singulière pourrait être de la 

 forme x = constant. 



cI/V 



Puis, quand on résout -y- des deux expressions , on voit qu'elles ne 



