246 MATHÉ.MATJQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



Algèbre supérieure, t. II, p. 636). Nous appelons AbéUennes , d'après 

 M. Kronecker, les équations dont toutes les racines peuvent être repré- 

 sentées par X, 6 [x), (P (x) , Ô-^ - ' (x), 6 étant une fonction ra- 

 tionnelle de X et des quantités connues, telles que ô'" (x) = x. 



Cela posé soit f (x) = o, une équation irréductible, de degré m, non 

 abélienne actuellement, mais qui devienne abélienne après l'adjonction 

 de certaines irrationnelles qui la laissent irréductible. 



Quel que soit le nombre de ces irrationnelles, on peut les exprimer 

 toutes en fonctions rationnelles, d'une racine d'une équation holodrôjne ; 

 j'entends par équations holodrômes , ainsi que dans le travail cité plus 

 haut, les équations irréductibles dont toutes les racines peuvent s'expri- 

 mer rationnellement en fonctions de l'une d'elles. Soient F (l) = o cette 

 équation holodrôme, et i^o une de ses racines. Xq étant une racine de 

 f (x) = 0, les autres par hypothèse peuvent être représentées par : 



étant une fonction rationnelle de 'Ç^ et de Xç„ et 0^ (^o, x^) représen- 

 tant e[(:o, (^0. Xo)] j et ainsi des autres. Soit a {Q, a étant une fonc- 

 tion rationnelle, une autre racine de F (Q = o, 6 [À {Q, x^] est aussi ra- 

 cine de f(x)=o; par conséquent cette quantité est égale à l'un des 

 termes de la suite précédente, 6' (Çqi Xq)- ^^ ^ '• 



[1{Q, x,]=(v ('Ç„x,), 



d'où : [X^ (Q,Xo]=(y [X (Q, Xo\ =0'' ÇCo, ^o), 



et d'une manière générale : 



Soit e le nombre de valeurs distinctes comprises dans la suite: wq, l{Ko)> 

 h^ (Ço) ; d'après ce qui précède 



d'où : i^ = 1 (mod m); 



ce qui exige que i soit un nombre premier avec m. Ainsi lorsqu'on 

 remplace, dans i'Ç,o «o)» ^o pai" 'es diverses racines de F (C) = o, on 

 obtient un nombre v de valeurs distinctes au plus égal à cp (m), nombre 

 des entiers inférieurs à m et premiers avec lui. Il en sera de même lors- 

 qu'on remplacera Xq par une indéterminée rationnelle a ; et les v va- 

 leurs qu'on obtient alors sont racines d'une équation irréductible (Voir 

 ma thèse n" 4), et les coefficients des diverses puissances de Xq dans 

 ^ (Co, Xo) peuvent s'exprimer rationnellement en fonction de ô (Co» o)' 

 D'ailleurs comme on a : 6 [X (Q, x^] = 0' (%, x^, on voit que 0]X (iio), a] 



