A.-E, PELLET. SLR LES EQUATIONS DE DEGRÉ PREMIER 247 



pourra s'exprimer rationnellement en fonction de (i;^, a). Ainsi l'é- 

 quation qui a pour racines ces v valeurs distinctes est holodrôrac ; et 

 l'on peut prendre pour F (i)= o une équation de degré v. Soient /i (^o) 

 une racine autre que a (Co) de l'équation F (^j=:o, et; 



()[\ (g, X,] = (il (ro,j^«); 



il viendra : 



[\ A (Co), x-\=(iJ [\ (Q, œ,]=f)J'(T:„ X,) ; 

 de même ; 



[a A, (Q, x„]=r}''J [Koy X,); 



d'où A, A (Co) =AA, {Q. 



Les fonctions À, Àj sont donc échangeables entre elles, et Téqualion 

 F (C) = est résoluble algébriquement d'après un théorème d'Abel . De 

 plus les V nombres tels que?, y,... forment un groupe relativement au 

 module m, c'est-à-dire que le produit de deux quelconques d'entre eux 

 est congru à l'un des termes de cette suite module m, et v est un divi- 

 seur de o (m). Le degré de l'équation résolvante de f (ri = o est égal 

 à m V. 



En supposant m premier et égal à p, on a, d'après ce qui a été dit 

 en commençant, le théorème suivant, très conim : 



Pourcju'une équation de degré |)remier ;>, irréductible, soit résoluble 

 algébriquement, il faut et il sufiit que cette équation devienne abé- 

 lienne après l'adjonction d'une racine d'une équation également abé- 

 lienne, dont le degré divise p — 1. 



On en déduit facilement que deux racines d'une telle équation étant 

 données, les autres s'en déduisent rationnellement, forme sous laquelle 

 Galois a donné le théorème. 



2. Dans la pratique, il est presque toujours impossible de former 

 ré(iuation résolvante d'une équation numérique donnée, aussitôt que 

 son degré surpasse 4. Aussi, il est très difticile de recojuiaître qu'une 

 équation est résoluble algébriquement. Mais il n'en est pas de mèrae 

 pour reconnaître qu'elle n'est pas résoluble, propi-iété négative qui a son 

 intérêt. En elfet, j'ai démontré (comptes rendus des séances de l'Aca- 

 démie des sciences, 24 mars 1879) que le degré de l'équation résolvante 

 d'une équation donnée est un multiple des degrés des divers facteurs 

 irréductibles en lesquels son premier membre se décompose suivant un 

 module premier quelconque. Dans le cas qui nous occupe, on en déduit 

 qu'une équation à coefficients entiers, irréductible algébriquement, et de 

 degré premier (p), n'est pas soluble par radicaux si son premier membre se 



