DEWULF ET P. -H. SCHOUTE. SLR UNE COURBE UNICURSALE 249 



M. lEWïïLE 



Coniiiiand.int du g.''ni(j. 



M. le W P.-ïï. SCHOÏÏTE 



De lu Havc. 



DÉTERMINER UNE COURBE UNICURSALE De QUATRIEME ORDRE 

 AYANT DES POINTS DOUBLES EN A, ET A.,, ET PASSANT PAR LES SEPT POINTS 



I, 2, 3, 4, 5, 6 ET 7. 



— Se a n ce du •? v e p t c m h i- e. I 8~ !) . — 



Le problème; serait résoin, si l'on avait trouvé un ])oint x* tel, que les 

 deux, faisceaux de coni([ues. 



{a„ a,, X, 0) [1. 2. 3. 4. 5] 

 {a„ a„ X, 7) [1. 2. 3. 4.5] 



soient projectiCs. Car, alors le quatrième point d'intersection P de deux 

 coniques correspondantes {a^ (i„ x 6 P), (a, a., x 1 P) de ces faisceaux 

 décrirait un C^ satisfaisant r la question. 



Sous cette forme, le problème est encore déterminé. On a, en effet, 

 deux inconnues, les coordonnées du point œ, et si l'on détermine la 

 projeclivité des deux faisceaux en faisant correspondre les coniques 

 (fli a^x 6 1) avec (a^ a^xl l), (aj «2X6 2) avec (r/i a^x 7 2), (O) OoX 63) 

 avec (fli a., x 7 3), on obtient deux équations en écrivant l'égalité des 

 rapports anharmoniques (Oj a.^ x 6) [1. 2.3. 4] et (aj a, xl) [1.2.3.4], 

 (a, (h_ X 6) [l. 2. 3. S] et {a, a., x 7; [i. 2. 3. o]. 



Maintenant, les cinq faisceaux de coniques (a^ «2 C) [1- '^- ^- ^- ^I 

 marquent cinq involutions sur une droite quelconque / ; et, si on sup- 

 pose X connu, les coniques («i a.^ x Q \) (a^ (l^ x 6 2), (^i a.^ x C 3),. 

 («1 «2 ^ ^ ^^). ("i «2 X Q o) appartiennent respectivement au premier, 

 au deuxième, au troisième, au quatrième, au cinquième faisceau, et les 

 cinq couples de points qu'elles déterminent appartiennent aussi respecti- 

 vement aux cinq involutions. En outre, les cinq couples de points sont en 

 involution parce qu'ils sont marqués sur l par des coniques du faisceau 

 (cTj a-i X 6). On peut répéter ce raisonnement pour les cinq faisceaux 

 (oj flo 7) [1. 2. 3. 4. 5] et les cinq couples de points qu'ils donnent 

 forment une involution projective avec la précédente. La question posée 

 est dont renfermée dans celle-ci: 



« On donne sur une droite 1 deux systêmen de cinq involutions ; on 

 » demande de trouver, dans chacune des involutions de chaque système, un 



