2o0 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉGANIQUE 



B couple de points conjugués tel que l'on ait, dans chacun des systèmes, cinq 

 » couples en involution^ et que ces deux involutions soient projectives. » 



Que l'on prenne un cercle M et sur sa circonférence un point 0; 

 que l'on joigne ce point aux couples de points d'une des involutions don- 

 nées, on aura un faisceau en involution ; chaque couple de rayons con- 

 jugués détermine une corde de M et toutes ces cordes vont concourir en 

 un point h. Si l'on fait cette opération pour chacune des mvolutions des 

 deux systèmes, on obtiendra les points èj, b^, b^, 64, b-- pour les cinq 

 involutions du premier système et les points gi, P21 Ps» p4» hs» pour 

 celles du second système. 



Supposons que l'on ait trouvé doux points p et t., qui rendent projec- 

 tifs les faisceaux 



P (bi, b^, 63, h„ b.„) 

 ^ (Pi, h, Pa, t%, k^, 



les cinq rayons du premier faisceau déterminent sur 31 cinq cordes dont 

 les extrémités projetées du point sur l, donnent cinq couples de 

 points appartenant respectivement aux cinq invokilioiis du premier 

 système et formant une involution. Par le môme procédé, les cinq rayons 

 du second faisceau donnent cinq couples de points en involution et 

 appartenant respectivement aux cinq involutions du second système ; 

 et, comme ces deux faisceaux p et :: sont projectifs, il en est de même 

 des deux involutions.il ne résulte pas de ce qui précède que chaque cou- 

 ple des points p et :: que l'on peut trouver conduit à une solution du 

 problème primitif. Cette conclusion serait même erronée; car il a déjà 

 été démontré, qu'à un point quelconque p correspond un point r., et, 

 par suite, qu'à un point quelconque x correspond un point p. 



La relation, qui existe entre les points p et x, a en effet été étudiée dès 

 4869 (")parM. Rud. Stunn. Soit p un point quelconque, représentons 

 par X. le rapport anharmonique /-> (&i, b^, 63, h^,), le point t. qui corres- 

 pond à p se trouvera sur la conique circonscrite à Pji p, hs Pt et capa- 

 ble de X. (suivant l'expression de M. l'amiral de Jonquières). Représen- 

 tons par Ai le rapport anharmonique p {bi,b.^,b3,b-^), h:' point ■:: devra 

 se trouver aussi sur la conique capable de 1^ circonscrite à Pi p^ Pg ^3. 

 Le point ■r est donc le quatrième point d'intersection de ces deux coni- 

 ques qui ont déjà, en commun, les points Pi ^2 Pj. 



Ainsi, à tout point p correspondant un points:, on voit, de même, qu'à 

 tout point ■:i correspond un point p. Mais pour chacun des points 

 61, b.i, 63, 64, b-i la droite qui joint ce point à lui-même est indéterminée, 

 îl en résulte, qu'à chacun de ces points correspond une conique 



(*) Malhematkclie Annixkn, 1. page 533, Das Pioblem der Projcctivitat etc. 



