DEWULF ET P. -11. SCHOLTE. SUR UNE COURBE UMCURSALE 2ol 



Si, S.,, Sj, S^, Sj qui passe par tous les points [i à l'exception du 

 point Pj qui correspond a 6.. Ces cinq coniques 1:1 passent par un môme 

 point j3o, auquel correspond la conique So circonscrite aux cinq points 

 b. Réciproquement aux cinq points p correspondent cinq coniques 

 SijS-i, Ss, Si, S5,qui passent respectivement par quatre points b et par un 

 point bo correspondant à la conique l^o des cinq pomts p. M. Sturm 

 a nommé les points bo et po poiiits adjoints aux deux systèmes de points 

 b et ^. 



Quand le point p décrit une ligne droite, t: parcourt une C-; qui est 

 du genre zéro ( ') puisqu'elle correspond, point par point, à une droite; 

 elle a donc six points doubles. Ces points doubles sont les six points 

 Pi, etc. 



Si nous considérons maintenant la relation entre les points p et x, 

 nous voyons d'abord qu'a un point /xiuelconque correspond un seul point 

 X, et réciproquement. Traçons par p deux droites /i et /.,, elles déter- 

 minent sur M deux arcs dont les extrémités projetées de sur / don- 

 nent Si ti et .H.y Li. Les conicjues {n^ a., 6 Sy /j) et {a^ n., G s., t^) se cou- 

 pent en un quatrième point x. Inversement si l'on prend un point 

 quelconcjue x, le point correspondant p n'est autre chose que le point 

 d'intersection des cordes de M que l'on obtient en projetant de sur 

 M les couples de points de l'involution ninrquée sur / par le faisceau 

 {tti «2 6 x). 



Si l'on admettait «(ue chaque couple de points p et - conduit h une 

 solution de la (juestion primitive, il faudrait aussi admettre que le point 

 double cherché a une position entièrement indéterminée et cette 

 conséquence est inadmissible. Puisque chaque couple p, t. ne peut don- 

 ner une solution, cela ne peut tenir (}u'à ce que le point x déterminé 

 au moyen du point p n'est pas le même, en général, que le point x 

 donné par le point t:, correspondant à p. Cette remarque fait entrer la 

 question dans une nouvelle phase. 



Si l'on part d'un point quelconque p, on trouve un point déterminé x- 

 que nous nommons Xp, et un point n, correspondant à p, qui donne un 

 point x^. La question est donc ramenée à celle-ci : 



Combien peut-on trouver de points p d'où résultent des points \p et 

 x^ coïncidents? 



Nous avons employé plus haut, pour déterminer le point Xj,, deux 

 droites quelconques passant par p; supposons maintenant qu'on joigne 

 le point p à deux quelconques des points S, les points êj et S-, par 

 exemple. Les coniques (Oi a> G Vj /,), (V/j a-i 6 s-i ti) déterminées comme 



(•) Stlbm, /. c, p o38. 



