252 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



ci-dessus et dont le quatrième point d'intersection est Xp, forment deuK 

 faisceaux projectifs quand le point p parcourt une droite m, parce que 

 les coniques de chaque groupe ont trois points communs et coupent /, 

 suivant une involution. Ce quatrième point Xp, décrit donc une Cj 

 quand p parcourt m ; mais celte C^ se décompose en deux coniques. En 

 etlét, quand p atteint la droite 6, 62, les deux coniques dont Xp est le 

 quatrième point d'intersection se confondent; et comme cette conique 

 fait partie de C4, le lieu géométrique de Xp est donc une autre conique 

 passant par les points o„ a,, 6. En outre, il est facile de voir que p 

 parcourt une conique quand Xp décrit une droite ; cette droite coupant 

 la C, correspondant à m en deux points, il en résulte que la relation 

 entre j3 et Xp n'est autre chose que la relation connue du second degré (*), 

 dont Oi a., et 6 sont les points fondamentaux. Cette même relation 

 existe entre les points t: et x^, et les points fondamentaux sont a^, a^ 



et 7. 



Quand p parcourt une droite m, cr^ parcourt une Cjo- En effet, lors- 

 que x^_ décrit une droite m, x est situé sur une C, passant par a^, a, 

 et 7, et cette courbe coupe la courbe C^ qui, comme lieu géométrique 

 de ::, correspond à la droite m des points p, en dix points. 



Cette Cl, doit être unicursale, parce qu'elle correspond, point par 

 point, à une droite, elle doit donc avoir des points multiples dont l'en- 

 semble équivaut à 30 points doubles. Elle a, en effet, des points quin- 

 tuples aux trois points 0^, a.,, 7, ce qui équivaut à 30 points doubles 

 et des points doubles aux six points p. 



Ainsi à une droite m, considérée comme lieu géométrique de p, cor- 

 respond une C, passant par a,, a, et 6 pour Xp, et une C^o ayant des 

 points iiuintuples en a^, lu et 7 et des points doubles aux six points ^ 

 pour x^. Imaginons maintenant que la droite m tourne autour d'un 

 point fixe p, la courbe C, engendre un faisceau dont la base est formée 

 par les points a^, a^. G, et le point Xp, correspondant à p\ de même 

 Cio engendre un faisceau dont la base est formée par les points o^, 0., 

 et 7 qui équivalent à 2o points , les points S qui équivalent 

 chacun à 4 points et le point x^ , qui correspond à p. Si l'on fait cor- 

 respondre entre elles les courbes de ces deux faisceaux qui correspon- 

 dent à la même droite m, elles engendrent une courbe C'^., qui a des 

 points sextuples en «j et a,, un point quintuple en 7, des points doubles 

 aux points .^ et un point simple en 6. Les points de coïncidence de 

 Xp et a;^ doivent se trouver sur cette courbe, que nous nommons cor- 



(*) RrYK, Géométrie der Larje, II, 2« édiliun, p. H9. 



