254 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



les polynômes de M. Hermite, clc, satisfont à une équation différentielle 

 linéaire de la forme 



dans laquelle A^, A^, A3 sont des fonctions d'ir et m un paramètre variable 

 indépendant d'x. Les formules fondamentales relatives à ces fonctions 

 peuvent se déduire de cette équation (1) par une méthode uniforme. Je 

 me propose d'employer une méthode analogue à l'égard des fonctions 

 satisfaisant à une équation différentielle linéaire d'ordre p de la forme : 



. dPy , , dP - ^ '/ , 14 



dans laquelle Aj, A, ... A;, +i sont des fonctions d'j? et m un paramètre 

 variable indépendant d'x. 



M. Liouville a, dans les premiers volumes de son journal, consacré 

 plusieurs mémoires à l'étude des fonctions satisfaisant à une équation 

 différentielle linéaire de la forme (1), ou à une équation de la forme 



d(k, d(\. ... d(\p-, dy))) 



(3) -^-^ — ^^, =^'^y- 



On voit que le premier membre de cette équation (3) est d'une forme par- 

 ticulière. C'est cette considération qui m'a déterminé à m'occuper de 

 l'équation générale (2). 



2. Je vais d'abord supposer p = 3, et m'occuper de l'équation du troi- 

 sième ordre 



Soit X„i une fonction déterminée de x et de m satisfaisant à cette 

 équation (4) ; désignons par X',„, \"m, X"',» les dérivées de cette fonction 

 par rapport à x. Si l'on attribue à m trois valeurs différentes m, m , m". 

 on aura trois fonctions Xm, X,,,', X,„', satisfaisant respectivement aux 

 trois équations 



AiX'^u + A^X'm + AjX'fli -j- A^X,,, — m \m 



AiX"'m' + A^X",,,' -f AjX'm' + A^Xm' = m' \m' 



AiX"m" + AjX'm" + AsX'm" + AiX„," = m" X,„" 



Si entre ces trois équations on élimine les coefficients A3, A4, on obtient 

 la relation 



