2o6 MATIIKMATIQUES, ASTRONOMIE, (iÉODÈSIE ET MÉCANIQUE 



fonction par rapport à x. En faisant un calcul analogue au précédent, et 

 posant 



D 



••»■ m ^ m ^ m 



Y" Y' Y 



A rn' ^ m'-^m 



on arrive facilement à la relation 



l I ~T~ 



(S>( J_ De J ^1 = {m — m) UX,„' (X,„Y'm — Y,„X'„,) 



dx 



d'où l'on tire une autre relation par l'intégration. 



4. Supposons, comme cas particulier, qu'en intégrant entre deux limites 

 iCo et a^i indépendantes de m et m , on arrive à mettre l'intégrale du 

 premier membre sous la forme 



f{m, m) [o(m) — o{m')] ; 



de façon que l'on ait 



UX,„'(Xm Y',„ — Y,„ \',„)dx=f{m, 



m 



cp (m) — o(m' 



(9) , - . 



Alors, si on prend pour m et w' deux, racines différentes de l'équation 



(10) ? (m) = K 



où R est une constanle quelconque, on voit que l'intégrale (9) est nulle. 

 Si au contraire on suppose m = m, on a 



(H) 



j UXm (Xm Y'm — \m X ,„)(/x = / (m, m). o'(m.) 



Admettons que l'équation (10) ait une infinité de racines simples 



m^, m^, . . • nu . . . 



et proposons-nous de développer une fonction F (x) en série procéilant 

 suivant les [fonctions Xm , Xm.^, . . . Xm . . . etc. 



m 



F (x-) = i: Arn.X»,. 

 1=1 



Pour déterminer le coefficient A,„ d'un terme quelconque X,», on mul- 

 tipliera les deux membres du développement (12) par 



(J ( m Y'"' — Y,„ X'm) dx 



