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M. -p. APPELL. — ÉQUATIOiNS DIFFÉRENTIELLES LLNÉAIRES "lol 



et on intégrera entre les limites x^ et x^] on a alors en appliquant les 

 formules précédentes : 



"^' F (ce) U (X,H Trn— \,nT,n}dx 

 (13) Arn = -^^ ,. , , ^ . 



^ -^ / {m, m) cp (??i) 



5. On voit l'analogie des formules précédentes avec celles bien connues 

 relatives aux polynômes de Legendre et de Jacobi, et avec celles plus 

 générales que j'ai indiquées {Compter Rendus, t. LXXXIX, p. 31). 



Il est cependant une différence qu'il importe de signaler. C'est que dans 

 les développements en série suivant les polynômes de Jacobi, les polynômes 

 de M. Hermite, etc., la détermination des coefficients n'exige que la 

 connaissance de ces polynômes; tandis que, d'après la formule (13), la 

 détermination du coefficient A,» dans le développement de F (x) en série 

 de fonctions X„i exige, non seulement la connaissance de la fonction Xm, 

 mais encore celle d'une autre fonction Y?h qui satisfait à la même équation 

 ditïérentielle que X,n. 



6. Soit entin Z,n une troisième fonction de x et m satisfaisant à l'équa- 

 tion (4). On a en posant 



H = 



la formule 



/-il.. 



(14) He^ ' =:Cle. 



7. Après avoir ainsi examiné en détail le cas de l'équation du troisième 

 ordre, il reste peu de choses à ajouter sur l'équation générale (2) d'ordre />; 



a généralisation étant trop aisée pour qu'il y ait intérêt à l'exposer. On 

 considérera d'abord une fonction déterminée X,» de a; et m satisfaisant à 

 l'équation (2), et on aura, en donnant, à m, p valeurs différentes, une formule 

 analogue à (G). Puis en considérant une deuxième fonction Y„, satisfaisant 

 à l'équation (:2), on obtiendra une formule analogue à (8). Et ainsi de suite 

 en considérant successivement 2, 3, . . p — i,p fonctions différentes satis- 

 faisant à l'équation (2). Par exemple, en en prenant p on arrivera à une 

 formule analogue à (11). 



II. — Su7' des polynômes satisfaisant à une équation différentielle linéaire 



du troisième ordre. 



l. La série F{a, b, c, d, e, x) = 

 ^ IM.ji d(d-{-l)..{d-}- n— \)e{e -{- [}.{e-^n — l) ^" 



n = 



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