258 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



satisfait à l'équation différentielle linéaire 



(1) {x^ - X-) -^ + [(3 -f a + 6 + 00^^ - (1 + rf + e)x] -^ 



_]. [d _^ a _|_ 6 _|_ c 4- ah + (w -^ hc) x — de] -^ + abcij = 



(voir Clausen, Journal de Crelle, t. III, p. 93). 



Cette série est convergente lorsque le module de x est moindre que 1. 

 Pour voir ce qu'elle devient pour x = l, remarquons que le produit du 



coefficient de œ" par n^+d + e-a-b-c tend vers la limite ^. }J,,}Z . 



^ r{a) r(6) r(c) 



quand n croit indéfiniment. 



Si donc 1 + d -\- e — a — b — c> 1, la série est convergente 

 pour a; = 1 ; si au contraire i-f-d-j-e — a — b — c<4,]a série est 

 divergente pour x = 1, et dans ce dernier cas, d'après un théorème que 

 j'ai démontré (voir Comptes rendus, t. LXXXVII, p. 689), le produit 



(i — x)'' + b + c - d - e Y(a, b, c, d, e, x) 



tend vers la limite 



r(d) r(e) r (g + b-^ c — d — c) 



r(a) r(6) r(c) 



quand x tend vers l'unité. Enfin je rappelle que la fonction 

 (^)x^-d¥(a-\-i — d,b-}-\—d,c-]-\—d,^ — d,e-^i — d,x, 



satisfait également à l'équation différentielle (1). 

 2. Cela posé, soient s, a, h, k quatre constantes; je fais : 



(3) a-\-b-\-c = s, i-^d-\-e = k 



ab -f- fl^' -\- bc = G, de = h 



de façon que abc = c (g — es- -|- c^), 



et je donne à c une valeur entière négative c = — n. La série F(a, 6, c, 

 d, e, x) devient alors un polynôme de degré n, que j'appelle X„, et qui 

 satisfait à l'équation différentielle. 



^^) ("^"^ - ^'^ -^ + ^^ + ^'^^^ - ^''^ -1^ 



_|_ [(1 _|_ s + a)œ — A] -^ = n (c -f ns 4- n')y 



Lorsque 7i varie, le coefficient de y seul est variable, et, par suite, cette 

 équation différentielle rentre dans la catégorie de celles que j'ai étudiées 



