M.-P. APPELL. — ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES 259 



dans la commimicatioii précédente. En adoptant les notations que j'ai 

 employées dans cette coEnmunication, on a ici 



Al = jc= — J2S A2 = (3 + s)x^ — li^ 



v-(i _ ^.)3 + s-k^ 



et \] = ±ej^^ = — a; '"'il — x)" 



-^1 



+ s - k 



Si ron suppose A; — 1 > et 3 -f- ■^ — A: > 0, on pourra appliquer à ces 

 polynômes la formule (7) de la communication précédente, en prenant 

 Xo= 0, Xy == \; ei l'on obtient ainsi la relation 



= (N'— N") i UXn'Xn'X „ dx + (y 



-N) / UX„'X„XV 



dx 



f 



+ (N — N') I UX„ \n-\'ndx 



dans laquelle on appelle N, N', N" les valeurs que prend la fonction 

 w(g -|- ns -\- n"^) pour n = n, n = n\ n = n". 



3. L'équation différentielle (4) est aussi vérifiée par la fonction 



Yn = x^ - ''F(a', h', c, d', e, x) 



où a, h' , c, d', é ont les valeurs indiquées dans (2), a = a-\~ [ — d,... etc. 

 On a alors, d'après la formule (8) de la note précédente 



^5) _^ . \)xH\ _ ^) 3 + -^-A = (N — N')UXn'(X„Y'H — YnX'n), 



où D désigne le déterminant 



X n A- rt Xn 

 ï n 1 n In 



X n' X n' Xn' 



Ajoutons aux hypothèses k — \ > 0, 3 -f- -^ — k > déjà faites, les 

 suivantes 



/f_l__(/>0oue>0et2-}-5 — A:<0, 



