ESCARY. VALEUR FINALE DE LA FONCTION Y„ 277 



à l'hypoLlu'SS de cp supérieur à w, que la partie réelle de a — b est positive, 

 et que celle de a, — ??, est négative; donc on aura toute réduction faite, 



1 r jM'^ — to) — lùj 



Y. = ° 





cp e 2 ' -j- (n -f- 1) sinto e 



~[n[ç — to) — w]i 



Il sino (^ ■! • -|_ (n -|- 1) sinoj e 2 ^ ' 

 Si, dans cette valeur, on fait (o = 0, on voit qu'on tombe sur l'expres- 



sion 



cos 

 \n = 



]/ -^ sincp 



donnée par Laplace dans le livre XI de la Mécanique céleste; si l'on y 

 fait 'p = 0, on retomb(î sur cette même expression dans laquelle on rem- 

 placerait n par n + 1 : ce (jui devait être, d'après la symétrie de o et de w 

 dans la vaUair du radical, dont l'inversi' donne naissance à ces fonc- 

 tions. 



Il est extrêmement rcmar([uable, comme le fait observer rillustrc auteur 

 de la Mécanique céleste à l'égard de la fonction \n, qu'un polynôme aussi 

 complique que la fonction Yn pour des valeurs indéliniment croissantes 

 de n, puisse être représenté avec une approximation d'autant plus grande, 

 que l'entier n est lui-même plus grand, par une expression d'une 

 pareille simplicité. D'ailleurs, comme on le voit, ce résultat découle de la 

 forme de cette fonction en intégrale délinie, obtenue par Jacobi, et dans 

 laquelle l'entier n entre seulement comme exposant. Nous avons donc là 

 un nouvel exemple de la belle méthode d'analyse, inaugurée par Laplace 

 dans sa Théorie aniihjtiquc des probabilités, et qui a précisément pour 

 objet la détermination des valeurs linaies d'intégrales définies de cette 

 fornie. 



