278 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



M. BEIOSCHI 



Directeur de l'Institut techniquo supùrifmr à Milan. 



RECHERCHES SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES 

 DU SECOND ORDRE. 



— Séance du i septembre 1 87 . ~ 

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1. Je supposerai connus les travaux do MM. Fuclis, Klein, Schwarz, 

 Gordan, Jordan, Pierre Pépin, sur le même argument, et aussi ceux: que 

 j'ai publiés dans les Mathemastische Annalen (Bd. 11), dans les Comptes 

 Rendus (décembre 1877, janvier 1878) et dans les Annali di Matematica 

 (T. IX). 



Cela posé, soient ?/i, y^ deux intégrales particulières de l'équation diffé- 

 rentielle du second ordre : 



y" + py' + fyy = 



où II' = —r-. II" = — V^; et p, q fonctions de x. Soit [{iji, y,) une 

 dx dx^ 



forme d'ordre m à coefficients constants, on aura : 



/■(!/i. y2) = F(a)) 



étant F [x) une fonction de x dont la nature dépendra évidemment de 

 celle des intégrales particulières y^, y, et de l'ordre de la forme f. 



La fonction y {x). comme il est connu, doit en général satisfaire à une 

 équation dilférentielle linéaire de l'ordre m -|- 1. Cette équation peut se 

 déterminer de la manière suivante. Soient : 



^ (^1, 2/2) = 4- (Z/")^ = tnf^- - ^'^^ ^'^^^' ^^) = ^ (^^') = "^ (t'Ai- t'A) 



(f, = '—: f,, = . . . , dD'.x covariants de la 



forme /■; j'ai démontré qu'on a : 



/i (^1. y-2) = H (œ); (?/„ xf) = & (x) 

 étant : 



H(,xO = '- r?«F/'i — (m — i) V'-\-mpYF'-\-m"-q¥^] 



