BRIOSCHI. RECHERCHES SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 279 



(x) = — ■ — ^— — ^ [2 (m — 2) F'H — wFH'l 



et [j. = e^F'-^. La constaiiLo C qu'on trouve dans ces deux expressions est 

 celle de la relation connue : 



[JL 



Si l'on suppose maintenant : 



Po = 1. 2h = 0, p, = ll (x), p., = (x) 



pr + i = ■ —7- [r{m — 2) t pr — mFp ,■] -{ p^Pr-i 



m [m — r) L m — /• 



on aura pour l'équation différentielle cherchée, la suivante : 



-^ [(m — 2) Y'pm — Yp'm] + "i ("^ — 1) PiPm - i = 0. 



Ainsi pour w = 2, on aura : 



p, = H' (x) = 

 ou par la valeur de H (x) : 



(1) F'" + 3i;F' + (// + 2/>^- + Aq) F + 2 {q + 2/)f/) F = 

 Pour m = 3 : 



Ji- [Frt — F0'J + 6H^ = 



ou par les valeurs de H, : 



F'r _{_ QpF" + AF" + BF' + 3CF = 

 étant : 



A = 4/}' + iip^ + IO7, B = p" + Ipp' + 6p' + 10- + iOpq 



G = =' + Spz + 3ry% ;^ = 7' + 2pr/ 

 enfin pour m = 4 : 



(2) F-- + 10/yF''- + [A + 6p' + 24/)^] F" -f [A' + 4pA + B] F" 



+ [B' + 4/jB + 8G] F' + 4 (G' + 4pC) F = 

 étant : A = Ap + 1 1 p^ + 20?, B = p" + Ipp + Qp' + 10^ + 20/^7 

 C = z -\- ^}Z -^ %q\ z = q'-{-2pq. 



