"280 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



2. Si la forme fiyi, y 2) n'est pas générale, c'est-à-dire si l'équation 

 /'(^j, 7/.,) = a des facteurs qui ne soient pas linéaires; les fonctions 

 Pi' P2' Ps' • • doivent vérifier certaines conditions et les équations diffé- 

 rentielles supérieures pourront être substituées par d'autres. 



Je suppose en premier lieu : p^ = H (a?) = 

 €11 posant : ï' = P'« 



la valeur de II (x) donne tout de suite l'équation différentielle suivante : 



P" + pV + r/P = 



et en effet dans ce cas la forme f n'est que la puissance m»'^™'-^ d'une 

 fonction linéaire de ?/i, y^. 



Soit: p,z@{x) = 



la valeur de @ (x) donne : 



m 2 



E(x = DF'- (x), k = 2 , D constant. 



^ m 



ei l'on aura l'équation différentielle : 

 on-'-F'Y'" — dm {m — 2) FF'F" + 2 (m — 1) (m — 2) F''' -f 3mpF [mYF" 

 — {m — 2) F-^] -[- m- (p' + 2//- -}- Aij) F'^F' -|- m':z¥' = 

 étant z = (/ -\- '^pcj 



En supposant 7?i = 2/- et F = P'Q on déduit de la supérieure la suivante : 



(3) L -]- 3r/jMQ = r^ (]/ + 2;j^ + Aq) NQ^ + %-'zVQ.^ = 



les valeurs de L, M, N étant : 



L = 9-3P"'a' + î'^- (3P"Q' + 3P'Q" + PQ'") Q^ — dr{r — 1) (P'Q' + PQ") 

 Q(r _|_(r_i)(2r— 1)PQ'3 



(4) 31 = ?-^-P"Q^ + r (2P'Q' -f- PQ"i Q — (r — 1) PQ'^ 



N = j-P'Q ^ PQ' 



1 



Enfin si l'on pose : g (?/,, ^2) = —(ff)i — G (.r) 



on a : F^G {x) = p, + 3;^/ 



et si G (x) = : -^ [3 {m — 2) F'e — mVe'^ + G»i (m - 2) H^ = 



ou l'équation différentielle suivante : 

 m {m — 1) FF''- — 4 (jji — 1) (»i — 3) F'F" + 3 {m — 2) (m — 3) F"^ 

 + 6wp [(m — 1) FF" — (m — 3) F'F"] + mÂFF" — (m — 3) 



