ERIOSCHÎ. RECHERCHES SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 281 



(5) BF'" + mCFF' + m'DF^ = 

 dans laquelle: 



A = (m — 1) (4p' -\- i\p- — Mq) -\- i^n-q, 



B z= 4 (m — i) p' -L- (5»i — 2) p- + 4 (m — 1) (3w — ^)q 



(6) C = (m — i) [p" 4- Ipp' + 0;r^ + 10g'] + 12 (m^ — 2m + 2) pq 

 D = (m — \) fô' + 3 pz) + G (>?i — 2)2 r/- 



3. Soient: i ^; = _^J__, ,^ = _L_L 



2 9 (x) o (x) 



p, q étant deux polynômes des degrés .s, s — 2, 31. Hermitc et après lui 

 M. Fuclis ont déjà démontre que dans ce cas on peut satisfaire à l'équation 

 différentielle (1) en prenant pour F (x) un polynôme du degré n. 

 Pour ré(|uation (3) on obtient : 



2-^L + Sro'MQ + r'(o" + 8x) XQ^ -f Ar' -/Vf)' = 



Soit : o = Q}. 



Q, A deux polynômes en x; l'équation supérieure pourra se diviser par Q 

 et l'on aura : 



À[2L 4- 3rMQ'] + 0[3/-À'M + r'{o" + Hx^X + 4rV.'PQ] = 0. 



Or des valeurs (i) de L, M on (léduit : 



2L + 3/-MQ' = QT + (r — \)(r — 2)Pn'3 



en indiquant par T la quantité multipliée par Q dans l'expression du 

 premier membre. En conséquence si r = 2, on peut diviser de nouveau 

 [)ar Q et l'on obtient l'équation ditleiviilielle suivante : 



àT + 6à'>I + 4(o" + 8x)N + 32x'l>U =:^ 0. 



Soient t, i, les degrés des polynômes P, Q, l'équalion ci-dessus sera du 

 degré t -\- i -\- s — 3; elle donnera par conséquent t -\- i -\- s — 2 équa- 

 tions entre les coefficients des polynômes 1, •/., P, Q. En supposant connus 

 ceux de 1 et de Q, on aurait à déterminer au moyen de ces équations les 

 l -\- s — 1 coefficients de P, x; c'est-à-dire on doit avoir i =^ 1; et si 



"> 11 — 1 

 F = P-Q est du degré n pair on aura l = r . 



Etant r = 2, on a m = 4; or le cas général pour m = 4 conduit à 

 l'équation diJïerentielle (2). Si l'on suppose que p, q aient encore les 

 valeurs (7) et F soit un polynôme de degré n, on aura une équation en x 

 du degré n -{- '2s — 5, ou enlin n -\- 2s — 4, équations entre les coeffi- 



