282 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



cients de F, cp, x. En supposant indéterminés ceux de F, x, en noml)re 

 Il -{- s — 1, on voit tout de suite qu'en supposant s = 3, ils pourront être 

 déterminés en fonclion des coefficients de cp. 



On peut observer qu'étant s =^ 3 et par conséquent x linéaire ; on aura 

 x" = 0, o'r = desquelles on déduit : 



5' + ^pz = 0, //" + Spp" + 6p-' 4- 24/j^// -f- 8^/' = 



par conséquent si l'on suppose ; 



]/ + 2j)- + iGq = A 



les deux, derniers termes de l'équation (2) deviendront : 



[3pA + (p + Sp^- + Aq)A]V + X = F 



ou ces termes s'annulent pour X = 0. Mais dans ce cas : 



cp" + 32x = 



et l'équation (2) se transforme de la manière suivante : 



cp^Fr + 3..'F'v + -|-(b>''^ + lo-^W" + -^ (7f'?" + %f"')F" = 0. 



Soit '^(x) = Ax^ — g^x — g^ et en conséquence x = y-x; le coef- 

 ficient de 0?" - -1 dans l'équation supérieure étant = 16/i(n — l)(/i -\- 1) 

 (n -{- 2)(n -f- 3), on ne peut avoir que w = 0, n = 1, c'est-à-dire F cons- 

 tante ou linéaire en x. 



4. Si g(x) = 0, on a l'équation différentielle (5). En supposant cp(cc) du 

 troisième degré, on aura, comme nous avons vu, z' -J- '2pz = 0, et la 

 valeur (6) de D donne 



m — 1 2o- L . I ^^ — I 



si l'on suppose D = 0, on aura F = const'' et l'équation : 



X o 4- l2 ; — yJ = U 



7U 1 



pour cp = 4x^ — (y^cc — r/g, y. = ux -{- u, donne u = 0, g., = 0, 

 m — l 



u := 



(m — 2j 



— ; en conséquence l'équalion différentielle 



„ , ()X^ , m — 1 X 



•^ ^ 4x-' — ^3 "^ (/n — 2)'^ 4x-' — [/3 *^ 



