!28G MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCA>JIQUE 



Je joue un coup additif de A en C, puis un coup soustractif de B 

 en D. Le résultat est le même que si j'avais transporté une boule de A 

 en D. Donc on peut toujours faire franchir à une boule deux cases con- 

 sécutives, dans un sens quelconque, sur une ligne ou sur une colonne. 



V. — On peut en conséjuence réunir toutes les boules d'un solitaire 

 sur un carré de 9 cases contiguës. 



VI. — En partant d'une boule située dans une case quelconque, je 

 puis arriver à en placer une dans une autre case déterminée, et cela 

 par tous les chemins possibles, en laissant au besoin des boules sur le 

 trajet parcouru. Je pourrai ensuite, par une marche inverse, remettre 

 le jeu dans son état primitif. Donc, tant qu'il existe encore au moins une 

 boule sur le jeu, on peut, pour les besoins du raisonnement, supposer 

 qu'il en existe également une, momentanément, dans une case donnée. 



VII. — Si on admet que le nombre des boules d'une case peut (Jevciiir 

 négatif, la conséquence précédente subsiste, même quand il n'existe 

 plus aucune boule sur le jeu. 



yii[. — Je joue un coup soustractif de A en G (ligure b), puis un 

 autre de G en A; j'aurai, en définitive, diminué do deux, unités le 

 nombre de boules de la case B. Donc, en vertu du n» VI, et en réser- 

 vant le cas où les autres cases du solitaire seraient toutes vides, cas 

 sur lequel je reviendrai, je puis toujours supprimer deux boules dans 

 une même case autant de fois que cela est possible. 



IX. — On peut également ajouter deux boules dans une même case 

 et, enfin, transporter deux boules d'une case dans une autre. 



X. — Par un coup additif, je passe de deux boules dans une itièma 

 case, à trois boules dans trois cases consécutives. Sous la réserve expri- 

 mée ci-dessus (n" VIII), je puis donc toujours supprimer trois boules 

 simultanément dans trois cases consécutives . 



XI. — Si j'admets la conséquence précédente, même dans le cas 

 réservé, et si ce cas se présente, j'arriverai à vider complètement le 

 solitaire, mais je saurai que ce résultat doit toujours être considéré 

 comme équivalant à un résidu de trois boules dans trois cases consé- 

 cutives. Le choix des trois cases est d'ailleurs indifférent parce que 

 tous les résidus que l'on peut former ainsi se transforment les uns dans 

 les autres; cela se déduit facilement du n° IX. 



XII. — Étant amsi fixé sur l'interprétation à donner au cas de la 

 sortie de toutes les boules, j'admettrai ladite conséquence sans réserve. 



D'ailleurs, si l'on a égard au n" IV, on voit que les coups additifs 

 ou soustractifs peuvent porter sur la case du milieu aussi bien que sur 



