288 MATHÉMATIQUES, ASTUO.NOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



Les nombres de boules contenues dans les cases de cette figure peu- 

 vent être remplacés par les restes de leur division par 2 {n° VIII). 



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J'obtiens ainsi ce que j'appelle la jjosilion réduite et je suis amené à 

 formuler le tîiéorème suivant : 



Théorème I. — Un carré de quatre cases étant choisi arbitrairement, 

 toute position du solitaire peut être ramenée à une position réduite 

 comprenant 1 ou boule dans chacune des cases de ce carré et boule 

 dans toutes les autres cases. 



J'examine maintenant ce qui serait arrive si j'avais joué un coup 

 sur la position donnée avant d'effectuer les opérations que je viens 

 d'indiquer. Le coup aurait modifié d'une unité les nombres de boules 

 de trois cases consécutives. Dans la position de la ligure c, ce coup 

 aurait donc modifié également d'une unité, trois nombres représentés 

 par des. lettres de même nom, telles que b, b' et b" ou par des lettres de 

 même accentuation a, b' et c'; par conséquent, chacun des nombres 

 de la ligure d aurait été modilié de 2 ou de 0, c'est-à-dire que la 

 position réduite n'aurait pus été changée. 



La position réduite caractérise donc le système auquel appartient la 

 position donnée ; elle ne peut être modiliée quels que soient les coups 

 que l'on vienne à jouer. Dans le même système, le passage d'une posi- 

 tion à une autre peut toujours s'eliectucr par des additions ou des 

 soustractions de nombres pairs dans les diverses cases et par des 

 transports de trois en trois cases, c'est-à-dire par des opérations qui 

 résultent de la combinaison de certains coups joués suivant la règle 

 générale du n^ XII. 



La position réduite peut d'ailleurs affecter seize formes tiistinctes qui 



