HERMARY. — SUR LE JEU DU SOLITAIRE ^289 



sont les arrangements complets de et 1 sur les quatre cases du carré. 

 J'arrive ainsi au théorème suivant, qui est en quelque sorte la clef de 

 la tljéorie. 



Théorème II. — Toutes les positions que l'on peut former sur le soli- 

 taire indéfini rentrent dans seize systèmes différents, qui sont tels que le 

 passage d'une position à une autre est toujoui's possible lorsque ces posi- 

 tions appartiennent au même système, et toujours impossible dans le cas 

 contraire. 



EXAMEN ET CLASSIFICATION DES DIVERSES FORMES DE LA POSITION RÉDUITE , 



XV. — Les seize formes que peut affecter la position réduite sont 

 représentées ci-après : 



/. 2. S. i. o. 6. 7. A'. .9. 



10 1 11 10 10 1 

 10 1 10 (M 11 



10. II. 12. l'i l-i. l-i. Ki. 



Ci 1 10 11 11 11 

 1 II M I I 1 10 10 



Je les distinguerai en trois classes. 



Lsi première classe ne comprendra que la forme 1 qui est équivalente, 

 comme on le sait, à un résidu de trois boules dans trois cases consécu- 

 tives quelconques (n'* XF). 



La deuxième classe comprendra les formes !2, 3,4, o, 6, 7, 10, Il et 

 16, qui ne comprennent qu'une seule boule ou sont réductibles à une 

 seule boule par des transformations convenables sur le carré de neuf 

 cases. 



La troisième classe comprendra les six autres formesqui ne sont jamais 

 réductibles à moins de deux boules, (juelles que soient les transfor- 

 mations qu'on leur fasse subir sur le carré de neuf cases. Ces formes 

 comprennent toujours au moins deux boules qui ne sont ni dans la 

 même liftne, ni dans la même colonne. 



On voit que pour déterminer le système ou la classe d'une position 

 donnée on peut former la position réduite sur un carré de neuf ca.ses; 

 la considération du carré de quatre cases n'est utile que pour l'établis- 

 .sement du théorème. 



APPLICATION DE LA THÉORIE 



XVI. — Pour abréger le langage, j'adopterai les appellations suivante> 



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