E. COL! [GNON. — RECHERCHES SUR LE MOUVEMENT ÉPICYCLOIDAL A3 



r 



Le point A qui décrit la courbe L est le pôle du système de coor- 

 données auquel est rapportée la courbe cherchée R. Il est aisé de recon- 

 naître, d'après cette équation, L'égalité des arcs correspondants des 

 courbes R et D. 



Etant donné le mouvement du point A qui parcourt la trajectoire 

 plane L, nous aurons à chercher quelle courbe directrice D il faut 

 y associer pour satisfaire à la condition imposée au mouvement 

 épicycloïdal . Cette courbe D une fois connue, on en déduira la 

 courbe roulante en appliquant la méthode que nous venons de 

 rappeler . 



Occupons-nous d'abord de faire décrire au point A une ligne droite 

 0\, en laissant de côté toute considération de temps et de vitesse. 

 Alors toute courbe D peut servir de directrice. Prenons la droite décrite 

 par le point A pour axe des .v, et rapportons la courbe D aux axes 

 rectangulaires OX, OY; soit 



(1) F (x, y)=o 



sou équation. Suivons la régie : pour cela, menons les normales AB à 



l'épicycloïde OX, ce seront les ordonnées de la courbe D; l'angle p. 



doc 

 correspondant est l'angle dont la tangente est — . On a donc à la fois 



dy 



r = y-, 



et 



rdb d.r 

 dr dy' 

 d'où l'on déduit rdQ = ydH = d.r. 



Différentions l'équation (1), ce qui donne 



(2) Tx d, + Ty dy= o. 



Dans cette équation (2), remplaçons dx par ydb, puis éliminons x 

 entre l'équation résultante et l'équation (1). L'équation finale, qui ne 

 contiendra plus que y et 0, sera l'équation différentielle de la courbe 

 roulante, équation dans laquelle y désignera le rayon vecteur et 6 l'angle 

 polaire; il restera à l'intégrer. 



Le résultat de cette recherche est donc une courbe R rapportée à ses 

 coordonnées polaires, dont les arcs sont égaux à ceux de la courbe 

 donnée D, et dont la rectification s'opérera par la même formule 

 analytique . 



Les rayons de courbure de ces deux courbes R et D sont liés ensem- 



